Résolution de l'équation de Schrodinger linéaire et l'étude de l'équation non linéaire avec une non-linéarité compacte

1.1.5 Quelques opérateurs continus

Dans l'étude de nombreuses équations aux dérivées partielles nous aurons a considérer des opérateurs locaux définis par des fonctions de dans , appelés parfois opérateurs de Nemitskii ou encore opérateurs de superposition.

Définition 1.1.5 Soit une fonction

f : x R -- 1I; (x,t) F-- f (x,t)

On appelle opérateur de Nemitskii associé a f l'application N qui a une fonction mesurable u définie sur associe la fonction Nu définie sur par

Nu(x) = f (x,u(x))

Définition 1.1.6 Soit un ouvert de IIl^N. Nous dirons qu'une fonction f : x --

1; (x, t) F-- f (x, t) est mesurable en x, continue en t, ou encore une fonction de Carathéodory si la condition suivante est satisfaite

₈

<

:

la fonction f (., t) est mesurable sur , Vt 2 R la fonction f (x,.) est continue sur , p.p en x 2