Résolution de l'équation de Schrodinger linéaire et l'étude de l'équation non linéaire avec une non-linéarité compacte

1.2 Quelques propriétés de la transformée de Fourier

Définition 1.2.1 On appelle transformée de Fourier de la fonction u 2 S (R^N), que l'on note u^{^} ou Fu la fonction définie par

fu^{^} (t) = F u (t) = e_ihx,t>u (x) dx, pour tout t 2 RN

RN

La transformée de Fourier F est une application linéaire bijective bicontinue de S (Ii^") sur S (R^").

On définie la transformée de Fourier inverse Fv, v E S (R^N) par

Fv (t) = (27r)-N I e^i(x'^t)v (x) dx, pour tout t ER^N

R^N

on aFF=FF=I identité de S (R^N) , c.à.d F^-1 = F. Remarques 1.2.1 (Voir [25], page 108-115)

1.Soit z E C tel que Re z > 0. Soit u (x) = On a

N

= (v _.Vz ^7r) , ~E R^N (B.1)
2.(F80,4) = (⁸o, F40) = F4⁰ (⁰) = f cp (x) dx = (1, cp) .

R^N

3.Soit (i^l, cp) = (T, (7)) avec Ci5(x) = cp (-x) , on a

F1 = FF80 = (27r)^N So = (27r)^N So (B.2)

4.Soit A E R\ {0} et T = e^zAl^x12 E S^' (R^N). Alors

/

( _N71^- . A 7r N 1£12

(B.3)FT = ez sgn
·4 _e^- 4),

V1A1

1.2.1 Le produit de convolution

Definition 1.2.2 Si f et g sont deux fonctions continues sur R^N et dont l'une au moins est à support compact, on définit leur produit de convolution par

(f * g) (x) = I R^N

f (x - y) g (y) dy, Vx ER^N

Remarques 1.2.2 (Voir [25])

1) Si T E e (R^N) alors T est une fonction sur R^N.

2) Si f E S^' (R^N) et g E e (R^N), on a

f * g E S0 (1N) et F (f * g) = f