Résolution de l'équation de Schrodinger linéaire et l'étude de l'équation non linéaire avec une non-linéarité compacte

1.3 Rappels sur le calcul différentiel

1.3.1 Différentielle au sens de Fréchet

Définition 1.3.1 Soient w un ouvert d'un espace de Banach réel X et F : w ~! 1 une fonction a valeurs réelles.

On dit que F est différentiable en un point u0 2 w au sens de Fréchet s'il existe une application linéaire continue çü 2 X^' telle que

Vv 2 w : F (v) - F (uo) = (ço,v -- u0) + o(v - u0)

L'application linéaire continue çü est appelée la différentielle au sens de Fréchet de F au point u0.

Remarques 1.3.1 1) Si F est différentiable en u0 au sens de Fréchet alors f est continue.

2) Si f est différentiable en u0 au sens de Fréchet alors sa différentielle est unique. Elle est notée Df (u0).

3) Si F est différentiable en tout point de X et si l'application X - X^' : u 7! F^'(u) est continue, on dit que F est continüment différentiable sur X, et on note C¹(X, 1) l'ensemble de ces fonctions.

1.3.2 Dérivée directionnelle

Définition 1.3.2 Soient w un ouvert d'un espace de Banach réel X et F : w ~! R une fonction a valeurs réelles.

Soit u0 2 w et v 2 X tels que pour t > 0 assez petit, on a u0 + tv 2 w. On dit que F admet au point u0 une dérivée dans la direction v si

uim t4O+	F (uo + tv) -- F (uo)
	t

existe. On notera cette limite par F ~ 0(a).

Une fonction F peut avoir une dérivée directionnelle dans toute direction v 2 X, sans être continue.

Lorsque la dérivée directionnelle de F existe pour certains v 2 X on introduit la notion de dérivée au sens de Gâteaux.

1.3.3 Différentielle au sens de Gâteaux

Définition 1.3.3 Soit w un ouvert d'un espace de Banach réel X.

Soit F : w ~! une fonction.

On dit que F est différentiable au sens de Gâteaux (ou G-différentiable) en un point u0 2 w s'il existe çü 2 X^' telle que, dans chaque direction v 2 X oh F (a + tv) existe pour t > 0 assez petit, la dérivée directionnelle F ~ ⁰(u0) existe et on a

uim t-40+	F (uo + tv) -- F (uo)	= (',v).
	t

L'application çü est appelée la différentielle de F au sens de Gâteaux au point u0 (ou la G-différentielle de F au point u0), on note F⁰ (u0) = çü.

Remarques 1.3.2 1) Si F est différentiable au sens de Fréchet alors elle est différentiable au sens de Gâteaux, de plus les dérivées coIncident.

En effet, pour une application F différentiable au sens de Fréchet, on a

F (u + tv) - F (u) = (F⁰ (u),tv) + o(tv) = t (F⁰ (u),v) + o(tv)

et Donc	F (u + tv) - F (u) t		o(tv) = (F^0 (u),v) + t
uim t-40+		F (u + tv) - F (u) t		= (F^0 (u),v)

2) (Jne fonction G-différentiable n'est pas nécessairement continue.

Proposition 1.3.1 (Voir [16], page 54)

Soit F une fonction continue d'un ouvert w a valeurs dans R

et G-différentiable dans un voisinage de u 2 w.

On désigne par F⁰ (v) la G-différentielle de F au point v et on suppose que l'application v i~- F⁰ (v) est continue au voisinage de u. Alors

F (v) = F (u) + (F⁰ (u),v -- u) + o(v -- u)

c'est a dire que F est différentiable au sens de Fréchet et sa dérivée classique coIncide avec F⁰ (u).