implémentation d'une nouvelle méthode d'estimation de la matrice variance covariance basée sur le modèle GARCH multivarié, simulation par backtesting de stratégies d'investissement.

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene
Faculté des mathématiques
Département de probabilités et statistique

Thème

Implémentation d'une nouvelle méthode d'estimation

de la matrice VAR-COV basée sur le modèle GARCH

multivarié.

Simulation par Backtesting de stratégies

d'investissements.

Réalisé par :

Mr: M. Al lamine Ahmat Alhabo Mr: Khaled Layaida

Promotrice : Proposé par:

Mme H. Guerbyenne Mr Y. Vernaz

Devant le jury :

Mme. DJ. SEDDIKI Présidente de jury

Mme H. GUERBYENNE Promotrice

tièes

Mr. A.AKNOUCHE Examinateur

Mr. F . HAMDI Examinateur

Mr. H.BELBACHIR Examinateur

Promotion 2007/2008

Remerciements

Louange à ALLAH, le miséricordieux, sans Lui rien de tout cela n'aurait pu être.
Nous remerciement ALLAH qui nous a orienté au chemin du savoir et les portes de la
science. Nous tenons à remercier vivement tous ceux qui nous ont aidés de prés ou de loin à
l'élaboration de ce mémoire ; on pense particulièrement à :

Notre promotrice Mme Guerbyenne qui nous a beaucoup guidé avec ses précieux conseils et orientations, et qui a donné tout son temps pour réaliser ce mémoire.

Notre encadreur Mr Yann Vernaz qui nous a beaucoup aidé avec ses conseils et orientations précieuses.

A notre jury Mr F.Hamdi, Mr H.Belbachir, Mr M.Aknouche, et Mme la présidente D.Seddiki.

Mr H.Benbouteldja et Mr N.Layaida qui nous ont beaucoup aidés pour la réalisation de ce mémoire.

Nos enseignants Mme H. Guerbyenne, Mme O.Sadki, Mme K.Djaballah, Mr Assem, Mr et Mme Yahi, Mme Djemai, Mr A.Rebbouh, Mr

M. Tatachak, Mr Astouati, Mr M. Djeddour, Mr M.El Bahi, Mme H.Saggou, Mme Madani et à tous les autres enseignants du département de Probabilités et Statistique.

Nous remercions également nos familles respectives qui nous ont aidés, encouragés et soutenus dans les moments difficiles tout au long de la préparation de cette thèse.

TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION 6

PERTINENCE DU SUJET 7

LA SOCIETE RAISEPARTNER 8

Chapitre 1: Processus aléatoires

I. PROCESSUS ALEATOIRES STATIONNAIRES ET PROCESSUS ARMA 10

I.1 DEFINITION D'UN PROCESSUS STOCHASTIQUES 11

I.2 PROCESSUS STATIONNAIRES 11

PROCESSUS BRUIT BLANC 13

I.2.2 Fonction d 'autocovariance 14

I.2.3 Fonction d 'autocorrélation 15

I.2.4 Fonction d 'autocorrélation partielle 16

I.2.5 Opérateurs 17

I.3 TOPOLOGIE DES MODELES ARMA 18

I.3.1 Processus autorégressif d'ordre p AR (p) 18

I.3.2 Processus moyenne mobile d'ordre q (Moving Average) MA (q) 19

I.3.3 Processus autorégressif moyenne mobile d'ordre (p, q) ARMA (p, q) 20

II. PROCESSUS ALEATOIRE NON STATIONNAIRE 21

II.1 COMPOSANTES DES SERIES TEMPORELLES 22

II.2 METHODE GRAPHIQUE 22

II.3 METHODES ANALYTIQUES 23

II.3.1 Analyse de la tendance 23

V. Analyse de la saisonnalité 26

III. EXTENSION DES MODELES ARMA 28

AUX METHODES EXPOSEES CI-DESSUS (POUR RENDRE LA SERIE STATIONNAIRE). 28

III.1 PROCESSUS AUTOREGRESSIF MOYENNE MOBILE INTEGRE D'ORDRE (P,D,Q) 29

III.2 PROCESSUS AUTOREGRESSIF MOYENNE MOBILE INTEGRE SAISONNIER 29

III.3 MODELES SAISONNIERS MIXTES SARIMA 29

III.4 MODELES SAISONNIERS PURS (SARMA) 30

Chapitre2: La méthodologie de Box et Jenkins

I. INTRODUCTION 31

II. DEMARCHE DE LA METHODE DE BOX ET JENKINS 32

II.1. ANALYSE PRELIMINAIRE 32

II.3. L'IDENTIFICATION DU MODELE ADEQUAT 32

II.3 ESTIMATION DES PARAMETRES DU MODELE 33

II.4 VALIDATION 33

II.4.1 Tests concernant les paramètres 34

II.4.2 Tests sur les résidus 34

II.4.3 Choix du Meilleur Modèle 40

II.5 PREVISION 42

Application de la méthodologie de Box et Jenkins

MODELISATION DE LA SERIE SPY 45

MODELISATION DE LA SERIE IEV 62

MODELISATION DE LA SERIE QQQQ 77

MODELISATION DE LA SERIE GLD 88

Chapitre 3: Lissage exponentiel

I INTRODUCTION 101

II PRINCIPE DE BASE 101

III DESCRIPTION DE LA METHODE 101

IV LISSAGE EXPONENTIEL SIMPLE 102

V CHOIX DU COEFFICIENT DE LISSAGE 104

VI LISSAGE EXPONENTIEL DOUBLE 105

VII METHODE DE HOLT-WINTERS 105

Application lissage exponentiel

ETUDE DE LA SERIE QQQQ 107

ETUDE DE LA SERIE IEV 109

ETUDE DE LA SERIE GLD 111

ETUDE DE LA SERIE SPY 113

COMPARAISON DES METHODES : 115

Chapitre4 :Les Modèles Hétéroscédastiques Univariés

INTRODUCTION 117

I. DIVERSES MODELISATIONS 117

I.1 MODELE ARCH (Q) 117

I.2 MODELE GARCH (P, Q)( BOLLERSLEV [1986 ]) 118

II. ESTIMATION, PREVISION [CHRISTIAN GOURIEROUX] 122

II.1 ESTIMATION 122

II.1.1 Estimation par le pseudo maximum de vraisemblance (PMV) 122

II.2 PREVISION 124

II.2.1 Forme des intervalles de prévision 124

III. EXTENSIONS DES MODELES ARCH / GARCH LINEAIRES ET NON LINEAIRES 126

III.1 MODELE IGARCH 126

III.2 MODELE GARCH-M 127

III.3 MODELE EGARCH 128

III.5 MODELE TGARCH 131

IV SERIES DE RENDEMENTS 132

Application des séries de rendements

ANALYSE ET ESTIMATION DES SERIES DE RENDEMENTS 135

Chapitre5 :Les Modèles Hétéroscédastiques Multivariés

I. INTRODUCTION 142

II. MODELE VEC 142

III. MODELE BEKK 145

IV. MODELE CCC 146

ESTIMATION DE LA MATRICE DE CORRELATION 147

IV.1 TEST DE CONSTANCE DE CORRELATION 147

V. MODELE DCC (DYNAMIC CONDITIONAL CORRELATION) 149

V.1 ESTIMATION DES PARAMETRES 151

IV.2 ESTIMATION DE LA CORRELATION CONDITIONNELLE 152

V.2 PROPRIETES ASYMPTOTIQUES DE LA METHODE DU PMV 153

V. APPROCHE THEORIQUE DE LA GESTION DE PORTEFEUILLE : 154

V.2 DEFINITION D'UN PORTEFEUILLE 155

RENDEMENTS D'UN PORTEFEUILLE : 156

RISQUE D'UN PORTEFEUILLE ET ATTITUDE DE L'INVESTISSEUR : 156

1. Mesure de risque : 156

2. Risque d'un portefeuille : 157

APPLICATION DE LA METHODE MULTIVARIEE 162

SIMULATION PAR BACKTESTING DE STRATEGIES D'INVESTISSEMENTS 172

CONCLUSION GENERALE 193

ANNEXE A : SYMBOLES ET TABLEAU 196

ANNEXE B : ALGORITHMES 199

BIBLIOGRAPHIE 211

A. OUVRAGES 211

B. MEMOIRES 213

C. INTERNET 214

Introduction

Les cours des actifs financiers ont subi, au cours de ces dernières années, de très fortes fluctuations. Ces mouvements spectaculaires ont ravivé l'intérêt porté à la question de la volatilité des marchés financiers par les cercles académiques, comme par les praticiens et les autorités de régulation et de contrôle. L'analyse de ces phénomènes est d'autant plus justifiée que les chocs boursiers ne sont pas sans conséquences en termes de stabilité financière et qu'ils peuvent s'accompagner de répercussions sur la sphère réelle.

Cependant la classe des modèles ARCH et GARCH constitue une réponse appropriée pour prendre en compte les spécificités de la volatilité qui ne peuvent pas être prises en compte par les méthodes «traditionnelles». Initialement, ce type de modèles est développé dans un cadre univarié. De fait, il laisse une large place à l'aspect descriptif plutôt qu'explicatif. L'extension de cette classe de modèles à un cadre multivarié a permis de remédier aux critiques des modèles univariés qui se révélaient insuffisants pour justifier la composition du portefeuille. En effet, la théorie financière postule que les covariances entre les actifs jouent un rôle déterminant dans la prise de décision des investisseurs dans leurs stratégies de placement. Or, les modèles univariés négligent cet aspect, qui demeure essentiel dans le choix du portefeuille. On remarque, cependant, que le développement des modèles ARCH et GARCH multivariés conduit à une inflation des paramètres à estimer. Ils sont donc devenus difficilement exploitables, si aucune contrainte supplémentaire n'est imposée. Ainsi, différentes méthodes de paramétrisation furent développées dont deux ont connu plus de succès que les autres. Il s'agit des méthodes proposées par Bollerslev (1990) et par Engle (2002).

Bollerslev (1990) a suggéré d'adopter des modèles où les corrélations conditionnelles entre les perturbations sont constantes dans le temps (Constant conditional correlation). L'intérêt de cette hypothèse est qu'elle réduit considérablement le nombre de paramètres à estimer dans la classe des modèles ARCH et GARCH multivariés. Quant à Engle (2002), il a conçu une nouvelle approche (Dynamic conditional correlation), en deux étapes, selon laquelle les corrélations sont dynamiques. Cette nouvelle classe de modèles GARCH multivariés se distingue par sa simplicité dans le sens où des spécifications GARCH univariées sont estimées pour chaque série séparément. Et les corrélations dynamiques sont estimées, dans une seconde étape, à partir des résidus standardisés issus de la première étape.

Les méthodologies adoptées sont celles des corrélations conditionnelles Constantes CCCGARCH, de Bollerslev et des corrélations conditionnelles dynamiques, conçue par Engle. Le principal avantage de l'utilisation des modèles DCC-GARCH tient au fait que la détection de

plausibles changements des liens entre les variables demeure sous-jacente aux données utilisées.

Pertinence du sujet

La modélisation de la covariance est un thème central en finance ainsi que dans de nombreux domaines. Plusieurs utilisations sont possibles en biologie, économie, et en écologie, puisque la modélisation de la dépendance entre différentes variables est primordiale pour mieux comprendre l'impact de la modification d'une de ces variables sur un système donné.

Dans ce mémoire, nous nous intéressons à l'utilisation financière de la matrice de covariance. La gestion des risques d'un portefeuille d'actifs requiert une juste mesure de la matrice de variance covariance.

Donc la problématique du stage se situe dans le cadre de la gestion de portefeuilles financiers qui consiste à allouer des fonds sur différentes catégories d'actifs financiers. Ces actifs peuvent être des actions de sociétés cotées en bourse, des matières premières (or, pétrole, produits agricoles,...) ou encore des bons du trésor d'états. Cette allocation a pour but de chercher à obtenir un rendement, c'est-à-dire des gains, de ces fonds en les plaçant de manière appropriée sur des catégories d'actifs bien choisis.

La théorie moderne de la gestion de portefeuilles est une théorie financière développée en 1952 par Harry Markowitz. Elle expose comment des investisseurs rationnels utilisent la diversification afin d'optimiser leur portefeuille, et quel devrait être le prix d'un actif étant donné son risque par rapport au risque moyen du marché. Dans ce modèle, le rendement d'un actif est une variable aléatoire et un portefeuille est une combinaison linéaire pondérée d'actifs. Par conséquent, le rendement d'un portefeuille est également une variable aléatoire et possède une espérance et une variance.

L'optimisation du portefeuille est aujourd'hui une composante importante de la finance quantitative moderne. Les méthodes d'optimisation existantes permettent de résoudre la plupart des problèmes posés par les praticiens de l'investissement.

Deux paramètres jouent un rôle fondamental dans la qualité des résultats obtenus : les rendements anticipés et la matrice de variance covariance.

Pour estimer la matrice de variance-covariance le modèle GARCH multivarié s'avère être actuellement le plus efficace pour prendre en compte la dynamique des interdépendances. Cependant l'estimation de ces matrices reste un problème difficile car très instable ce qui a comme conséquence une dégradation des résultats de l'optimisation (forte variabilité des portefeuilles obtenus). Ce stage se propose de mettre en place une procédure d'estimation robuste de ces matrices de variance-covariance et de tester son efficacité sur des cas pratiques.

La société RaisePartner

Présentation

La société RaisePartner¹, a été fondée en juillet 2001. Comme son nom l'indique², RaisePartner

a comme coeur de métier la fourniture à ses clients (des gestionnaires de portefeuilles) d'outils d'optimisation visant à accroître leur performance. A ces outils, RaisePartner propose d'adjoindre des services adaptés aux clients.

Juridiquement, RaisePartner est une SAS³. Un des intérêts de ce statut juridique est de permettre aux dirigeants de bénéficier du régime de protection des salariés. Elle se compose de seize personnes⁴, réparties en quatre équipes (comme mentionné sur la figure 1). Si le siège social, ainsi que l'équipe de R&D, se situent à Grenoble, les équipes de consultants et de commerciaux se trouvent à Paris et New York. Enfin, elle projette d'élargir son marché au Moyen-Orient en créant une antenne à Dubaï en 2008.

Actuellement, RaisePartner a comme clients réguliers les branches Assets Managements de grandes banques aussi bien que des hedge funds.

Ses solutions

Voici les principaux produits que propose la société à ses clients.

Figure -1- Organigramme de la société RaisePartner.

¹http :// www.raisepartner.com

²RaisePartner vient de l'anglais to raise augmenter, et partner partenaire.

³Société par Actions Simplifiées : forme de société commerciale créée en 1994, qui tient à la fois de la société anonyme et de la société à responsabilité limitée.

⁴Un «business angel» aide de plus au financement de la société.

La librairie NORM Asset Management

NORM (pour Numerical Optimization for Risk management) est une librairie de finance. Elle permet d'optimiser des portefeuilles de façon robuste, en tenant compte de multiples contraintes.

Elle se compose de quatre modules :

1. Analyse du risque et de la performance (Performance & risk analysis).

2. Optimisation robuste de portefeuille (Robust asset allocation).

3. Corrélation et agrégation de risque (Correlation & risk aggregation).

RP Quant Advisory

A cette librairie, des services appelés RP Quant Advisory sont adjoints : c'est la branche consulting de la société qui s'en

charge. Il s'agit d'accompagner les utilisateurs dans leur création de stratégie d'investissement en les aidant à se servir de NORM, et de leur fournir une analyse de leurs univers d'investissement.

PRISM

Prism est l'acronyme de Platform of Risk and Investment Strategy Management. Il s'agit d'un futur produit développé au sein de l'équipe R&D de RaisePartner. Cette plateforme de services Web utilise la librairie de mathématique financière NORM As set Management permettant d'effectuer de l'analyse

de performance et de risque, ainsi que l'optimisation et de l'évaluation de prix. Ce nouveau produit clef en main propose ainsi aux clients un panel de services liés à la gestion, à l'analyse et à l'optimisation de portefeuille.

Cette plateforme est développée avec la technologie J2EE⁵, Le développement de PRISM étant dans la phase de développement, sa commercialisation est prévue pour 2008.

⁵ JAVA 2 Entreprise Edition : outils permettant le développement d'une plateforme web à partir du langage JAVA.