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implémentation d'une nouvelle méthode d'estimation de la matrice variance covariance basée sur le modèle GARCH multivarié, simulation par backtesting de stratégies d'investissement.

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par Khaled Layaida
USTHB - Ingénieur d'état 2008
  

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I. Processus Aléatoires Stationnaires et Processus ARMA

Introduction

La statistique se préoccupe de porter des jugements sur une population à partir de l'observation d'un échantillon de cette population. La plupart du temps l'ordre dans lequel sont échantillonnées les observations n'a pas d'importance. L'exemple le plus simple que l'on puisse prendre est celui des sondages d'opinions.

L'analyse des séries temporelles est très différente de l'analyse statistique habituelle car l'ordre des observations revêt une importance primordiale. Une série temporelle est définie comme une suite d'observations indexées par le temps. On peut prendre comme exemple en économie ou en finance une série : de prix, de taux d'intérêt, etc. Mais on peut trouver bien d'autres exemples dans les autres disciplines. Les séries temporelles peuvent être observées de manière continue ou discrète. Dans ce mémoire, on ne considère que des séries discrètes observées à intervalles réguliers. Certaines séries peuvent être observées à tout moment, même si on choisit de ne les observer qu'à certains moments. Par exemple les prix, les taux d'intérêt, . . . Ce sont des flux. Par contre d'autres séries sont définies comme des accumulations de valeurs et doivent être observées à intervalles fixes. Ce sont des stocks. Essayez de comprendre la différence entre une observation trimestrielle du PIB et une observation annuelle de celui-ci. La différence entre ces deux types de séries peut être importante quand il s'agira de les modéliser. On a le sentiment en observant un graphique de ces séries que la valeur prise au temps t dépend fortement de la valeur prise au temps t -1. Le processus qui les engendre est dynamique. Le problème est alors de trouver le modèle pratique qui approchera le plus possible le processus théorique et ensuite de l'estimer.

Une fois cette étape franchie, on pourra faire de la prévision ou du contrôle avec ce modèle. Les types de modèles que l'on peut considérer sont nombreux. En statistique on va s'intéresser à modéliser une série univariée par exemple au moyen d'un modèle ARMA, ou bien considérer plusieurs séries à la fois et les modéliser conjointement dans un modèle multivarié ou modèle VAR.

La modélisation statistique usuelle suppose que les séries sont stationnaires. Cependant la plupart des séries que l'on traite sont non stationnaires, c'est à dire par exemple qu'elles croissent dans le temps. Il est en général toujours possible de trouver une transformation ou

un filtre qui puisse rendre stationnaire les séries non stationnaires. Mais la détermination exacte de ce filtre n'est pas triviale. Le but est de prendre en compte la nature non- stationnaire des données économiques ou financières en montrant les problèmes que cela pose. C'est toute la question des racines unitaires et de la cointégration. Dans ce chapitre on présente le cas univarié, certains outils mathématiques et modèles simples employés par la statistique des séries temporelles.

La branche de la statistique mathématique qui s'intéresse aux séries temporelles a développé plusieurs modèles de représentation, dont nous allons brièvement rappeler les plus simples. Il s'agira de préciser quelques notions sur les modèles AR, MA, ARMA et quelques outils mathématiques qui leurs sont reliés.

I.1 Définition d'un Processus stochastique

Un processus stochastique est une suite de variables aléatoires réelles indexées par le temps

{X t , tE cents ?

Ici t appartient à un espace discret, ce qui définit un processus en temps discret. Un processus stochastique est donc une famille de variables aléatoires { X t , t E cents } c'est à dire de

fonctions mesurables de l'espace S des échantillons à valeurs dans . Pour chaque point s de l'espace des échantillons S, la fonction qui à t associe X t (s) est appelée la trajectoire du

processus. Les observations successives forment l'histoire (information) du processus.

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9Impact, le film from Onalukusu Luambo on Vimeo.



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