WOW !! MUCH LOVE ! SO WORLD PEACE !
Fond bitcoin pour l'amélioration du site: 1memzGeKS7CB3ECNkzSn2qHwxU6NZoJ8o
  Dogecoin (tips/pourboires): DCLoo9Dd4qECqpMLurdgGnaoqbftj16Nvp


Home | Publier un mémoire | Une page au hasard

 > 

implémentation d'une nouvelle méthode d'estimation de la matrice variance covariance basée sur le modèle GARCH multivarié, simulation par backtesting de stratégies d'investissement.

( Télécharger le fichier original )
par Khaled Layaida
USTHB - Ingénieur d'état 2008
  

précédent sommaire suivant

Bitcoin is a swarm of cyber hornets serving the goddess of wisdom, feeding on the fire of truth, exponentially growing ever smarter, faster, and stronger behind a wall of encrypted energy

I.2 Processus stationnaires

La notion de stationnarité joue un rôle central dans la théorie des processus aléatoires, et particulièrement en analyse des séries chronologiques. Dans plusieurs problèmes du monde réel, on rencontre des processus aléatoires qui évoluent dans un état d'équilibre statistique, dans le sens où les propriétés probabilistes et statistiques des processus ne changent pas dans le temps, de tels processus sont dits stationnaires.

On commence par donner la définition d'un processus stationnaire au sens strict, et ensuite celle de la stationnarité du second ordre.

· Processus strictement stationnaire (stationnarité forte) :

Grossièrement, un processus aléatoire est dit strictement stationnaire si sa loi de probabilité est invariante par translation dans le temps. Mathématiquement, le concept de stationnarité stricte est donné par la définition suivante:

Définition :

Un processus stochastique {Xt,te Z} est dit strictement (ou fortement) stationnaire si pour

tout ne *, et pour tout n-uples ( t1 , ..., tn)e Z n , la distribution de probabilité conjointe du vecteur(Xt1+h,...,Xtn+h) est la même que celle de ( Xt1 ,..., Xtn ),Vhe Z . Autrement dit, si on a : P(Xt1 x1,...,X4, xn)=P(Xt1+h x1,...,Xtn+h xn),V(x1,...,xn)e Rn,Vhe Z

On note que toutes les caractéristiques (c'est à dire tous les moments) d'un processus strictement stationnaire si elles existent sont invariantes dans le temps. Cette définition de la stationnarité est, cependant, trop forte et très exigeante et repose sur la connaissance de la loi conjointe du processus qui ne peut être connue en pratique, sauf dans des cas très spéciaux. Toutefois, plusieurs propriétés essentielles des processus aléatoires peuvent être obtenus à partir des moments du premier et du second ordre.

La stationnarité de ces deux moments peut donc être suffisante pour expliquer la stationnarité du processus. Pour cette raison, on a besoin d'un concept de stationnarité moins fort et qui peut être rencontré dans la pratique.

· Processus faiblement stationnaire (du second ordre) :

Considérons un processus stochastique de second d'ordre{ Xt,te Z} .

Définition Un processus est stationnaire au second ordre si: E(Xt ) = E(Xt+h ) = it (de moyenne constante).

Vte Z, E(Xt2)< oo

cov(Xt,Xt+h )= EL(Xt-- pt)(Xt+h--pt+h)1= y(h )

La fonction y(h) est dite fonction d'autocovariance du processus. Remarques

-- 1. La fonction d'autocovariance d'un processus faiblement stationnaire dépend seulement de la différence des instants.

-- 2. Dans la classe des processus du second ordre, il est clair que la stationnarité stricte implique la stationnarité faible (la réciproque n'est pas vraie, sauf pour les processus dits Gaussiens).

Un processus{ Xt , t Z} est dit Gaussien si toute sous-famille finie du processus constitue un vecteur Gaussien. Autrement dit, pour tout ( )

n E N t t n E Z , le vecteur( X t 1 ,..., X t n )

* , 1 ,..., n

est Gaussien.

Théorème de Wold

Un processus stochastique non paramétrique se définit à partir de la distribution conjointe des observations ou de ses premiers moments. Un processus stochastique paramétrique se définit au contraire à partir d'un mécanisme de génération qui est indexé par des paramètres.Il est possible de caractériser ce mécanisme de manière très générale au moyen du théorème de Wold (1954). Ce théorème montre que tout processus stationnaire peut être représenté de manière unique par la somme de deux composantes indépendantes, une composante régulière parfaitement prévisible parfois appelée déterministe et une composante stochastique.

Théorème 1 Soit un processus stationnaire? t ) t

y . Il est toujours possible de trouver une

composante régulière dt et une composante stochastique z t telle que:

yd z

t t t

= +

?

z b ?

t i t i

= ? ?

i o

=

? ?t , tE cents}un bruit blanc.

Ce théorème est à la base de la modélisation des séries temporelles stationnaires. La composante stochastique est exprimée sous la forme de ce que l'on appelle un processus moyenne mobile infini. Un des buts de la modélisation consiste à approximer cette moyenne mobile infinie par un processus ayant un nombre fini de paramètres. C'est ce que l'on verra en étudiant les processus AR, MA et ARMA.


· Processus bruit blanc (White noise)

Plus simple processus stationnaire en analyse des séries temporelles est appelé : processus bruit blanc 6 { ct , tE Z } qui est une séquence de variables aléatoires non corrélées de

moyenne nulle et de variance constantea? 2 .

6 Ce terme de la physique, faisant référence au spectre de la lumière blanche.

Le fait que les variables aléatoires ( t ) t

c soient mutuellement non corrélées (hypothèse d'orthogonalité), nous permet de donner la fonction d'autocovariance de ce processus par:

r

2 0

y C

si h

( ) cov( , ) ( )

h E C

®~

C C + C C +

t t h t t h ~ 0 sinon.

Par conséquent, la fonction d'autocorrélation est donnée par :

PC

r

1 0

si h

( )

h ®~ ~ z

0 0

si h

I.2.2 Fonction d'autocovariance

La suite de toutes les autocovariances d'une série contient toutes les informations sur la mémoire de cette série. On l'estime au moyen de :

t 1

y à( )

h

T h

-

~

( )( )

X X X X

t t h

- -

-

1

T

Avec

1 T

X X

~

t

T

t 1

On utilise T observations pour calculer la moyenne et la variance, alors que pour calculer y(h) on utilise seulement T - h observations. Donc quand h --* T, l'estimateur de y(h) tend

vers zéro si le processus est stationnaire en covariance. Si cette condition de stationnarité est vérifiée, alors l'estimateur yà(h) est un estimateur consistent de y(h).

Propriétés

a) La fonction d'autocovariance y(h) satisfait la propriété suivante : y(-h)=y(h) VhE Z; (fonction paire).

Donc on peut, dans la pratique, se restreindre aux autocovariances aux retards positifs, c'està-dire que l'on peut, sans perte de généralité, prendre h E .

b) On peut facilement, en utilisant l'inégalité de Cauchy Schwartz, vérifier la propriété suivante :

y (h) ~y(0)=Var(X t ) Vt,hEZ.

précédent sommaire suivant






Bitcoin is a swarm of cyber hornets serving the goddess of wisdom, feeding on the fire of truth, exponentially growing ever smarter, faster, and stronger behind a wall of encrypted energy








"Piètre disciple, qui ne surpasse pas son maitre !"   Léonard de Vinci