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Gestion de Portefeuille Obligataire : Cas de la Banque Nationale d'Algérie (BNA)

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par Mohand.E-B. HAMADACHE
Ecole Supérieure de Banque (E.S.B.) - Diplôme Supérieur des Etudes Bancaires 2007
  

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2.5. La duration d'un portefeuille obligataire

Un portefeuille est composé de titres, et étant donné que chaque titre a une duration, il en existe forcément une duration pour une masse de titres. Celle-ci est égale à la moyenne pondérée des durations des titres individuels qui composent le portefeuille. Les poids pris en considération sont les valeurs présentes des titres (valeur totale + intérêts courus) rapportées à la valeur globale de l'ensemble des titres.

Supposons un portefeuille P, composé de k titres ayant chacun une valeur de marché Vi, la valeur du portefeuille est : k

Vp = ? Vi

i =1

2.5.1. Calcul de la duration (D) d'un portefeuille

k

La proportion des titres dans le portefeuille est de : wi = V i / Vp tel que : ? wi = 1.

i = 1

Hypothèse : En considérant que la courbe des taux est plate, donc que les taux d'intérêt
évoluent en constance pendant toute la période de placement, et soit dr la variation de

taux d'intérêt. La variation de la valeur du portefeuille sera donc de :
k k

dVp ? dVi k?4 dVi/Vi

:

dVp = ? dVi. Ce qui nous donnera = ... (3)

Vp Vp Vp/Vi

i=1 i =1 i =1

La variation relative des titres : En reprenant la formule (2) représentant l 'Elasticité

dv +r

en fonction de la duration, on aura : i = -- Di .d

Vi (1(l+r))

La variation relative de la valeur du portefeuille : s'obtient en remplaçant cette dernière formule dans l'expression (3), soit :

d(1+r)

dVp

Vp

= (-13L( 1+r )K

i =1 Vp/Vi

k

= E - wi . Di. [d (1+r)/ (1+r)]

i =1

Rappelons aussi que l 'Elasticité est la variation du prix par rapport à la variation du

taux d'actualisation (1+ r), ce qui nous donne la Duration D du portefeuille (au signe

k

près) qui s'exprime comme suit : D = - dVP/VP= ? wi. Di qui représente

d(1+r)/(1+r) i = 1

effectivement la moyenne pondérée des durations de titres qui composent le portefeuille. 2.5.2. La sensibilité (S) d'un portefeuille :

1

Sachant que la sensibilité peut s'écrire en fonction de la duration soit : S = - . D.

(1+r)

En remplaçant cette formule dans l'expression de la duration d'un portefeuille, nous

aurons : - S. (1+r) = - ? wi . Si . (1+r).

D'où :

S = ? wi . Si

i

En effet, cette formule montre que les caractéristiques de la duration peuvent aussi s'appliquer à la sensibilité du portefeuille qui est donc égale à la moyenne pondérée des sensibilités des différents titres composant le portefeuille.

3. La convexité : (bond convexity)

Pour une variation importante de taux d'intérêt, la sensibilité fournit une variation des prix des obligations non suffisamment précise ; en effet, la réalité du marché nous laisse dire que la sensibilité, représentée par une fonction de dérivée première, ne donnera une bonne approximation des prix que pour des variations infinitésimales des taux d'intérêt. Donc, le recours à une méthode précise impose l'application d'un terme de second ordre, négligeable pour des petites variations de taux d'intérêt. Cet élément suppose que la relation qui lie le prix et le taux de rendement d'une obligation n'est pas linéaire mais plutôt convexe ; d'où le concept de `convexité`.

3.1. Définition de la convexité

La convexité est la dérivée seconde du cours d'une obligation par rapport au taux d'intérêt. Elle mesure la variation relative de la sensibilité d'une obligation pour la petite fluctuation des taux d'intérêt. Par ailleurs, la convexité exprime la rapidité de l'appréciation et la lenteur de la dépréciation du cours de l'obligation si les taux baissent ou montent respectivement.

La mesure approximative par la sensibilité fournit une valeur différente du prix exact de l'obligation, en fait c'est un prix `approximatif'. Sur le graphique ci-dessous, on peut lire l'écart obtenu entre le prix calculé et le prix exact de l'obligation :

r

r1

ro

Po

P1

P(r)

Graphique n° 2 : Illustration de l'écart entre le prix calculé et le prix exact

En utilisant le théorème de développement de Taylor1, on peut approcher la variation du prix d'une obligation en fonction de son taux actuariel (r) :

P(r) '' P(r0) + P'(r0).(r-r0) +

P(2) (r) j (r-r0)2 + E

2 I)(r)

Avec : P (r) : le prix de l'obligation

P' (r) = dP(r)

dr , variation du prix par rapport au taux d'intérêt ;P(2) (r) = d2 P dr(r)
,

dérivée seconde prix de l'obligation.

2)

Sachant aussi que : dP(r) e=, P'(r0) dr + P2( I)(r()) dr2

dP(r)

(r)

I)/ (r)

eS.I

IS.I

d + P(2) (r) d 2

I)(r) r 2 I)(r) r

On peut écrire:

P(2) (r) 2

dP(r) - S dr + dr

P) 2 I)(r)

Or, la convexité (C) est définie comme le moment de second ordre de la variation des

prix par rapport au taux d'intérêt : C =

P(r)

P(2) (r)

dP(r) = - S dr +

P(r)

Ce qui nous amène à :

C

2

dr2

Ou encore en appliquant la définition à la valeur actualisée, on aura ainsi :

1

Convexité = In (ti (1+ti) Fi)

P

.(1+

r

)

2

i

=

1(1+

r

)ti

Cette formule permet de déduire que plus la convexité est grande, le prix diminue lentement pour une hausse de taux et que si les taux baissent le prix du titre subit une augmentation sensible.

Les propriétés de la duration sont applicables à la convexité, celle-ci est d'autant plus grande que la maturité de l'obligation est longue et le coupon faible. Cependant, et comme nous le montre le graphique 2, la convexité fournit une meilleure approximation du cours de l'obligation pour les variations de taux d'intérêt limitées, et cette précision sera d'autant plus importante si on considérait les autres termes du développement de Taylor.

3.2. Convexité d'un portefeuille

La convexité Cp du portefeuille obligataire est définie comme la moyenne pondérée des convexités Ci des k titres qui le composent. Elle a pour formule1 :

k

Cp = E wi x Ci

i=1

Où : wi désigne le poids de la valeur de (Vi) marché de l'obligation i rapporté à la valeur du portefeuille P.

4. Les limites des outils d'analyse actuariels

> Taux de rendement et réinvestissement des coupons

La formule du taux de rendement actuariel suppose que les coupons sont réinvestis au même taux, chose qui est peu évidente sur un marché. En effet, cette hypothèse ne prend pas en compte les fluctuations régulières des taux.

1 La démarche de construction de la formule a été illustrée précédemment dans la page 43.

> La duration est un instrument de mesure performant pour les obligations à taux fixe et remboursables in fine. Cependant, cet outil est insuffisant pour les autres types de titres ;

> Les outils actuariels supposent généralement que la courbe des taux est plate et ne tiennent pas compte des mouvements de cette courbe ;

> La duration ne peut être utilisée comme outil performant pour la mesure de la sensibilité d'une obligation au taux d'intérêt, que dans le cas d'une variation importante de taux d'intérêt, à défaut c'est la convexité qui est prise en compte.

Nous avons passé en revue les outils permettant à un gestionnaire d'avoir une simple idée sur la valeur actuelle de ses titres et d'en projeter les perspectives de gain ou de perte. Ces outils sont très simples à développer, mais contiennent beaucoup de lacunes, chose qui n'empêche guère les analystes à les utiliser tant leur importance les a rendus indispensables dans toute évaluation obligataire.

En effet, l'évaluation des obligations et d'un portefeuille d'obligations reposent beaucoup sur ces outils, cette analyse fera l'objet de développement dans la prochaine section.

Par ailleurs, nous avons vu que l'inconvénient majeur des outils actuariels est le principe de constance du taux de rendement actuariel dans le temps, nous ne pouvons donc pas avancer sans pallier à cette limite à travers l'analyse de la courbe des taux d'intérêt, qui fera également l'objet de la deuxième section de ce chapitre.

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