2.2. Duration actuarielle
« La duration se définit comme une durée de
vie moyenne pondérée de l'ensemble des cash-flows d'une
obligation. Le choix de la pondération est important. On aurait pu
imaginer de pondérer chaque échéance par le poids relatif
du cash-flow par rapport au total. Macaulay (1938), lorsqu'il a introduit la
duration, a préféré retenir une pondération
actuarielle en partant du principe selon lequel 1 dollar de
flux perçu dans 10 ans ne doit pas peser autant qu'un dollar de paiement
dans un an »1.
En effet, la duration de Macaulay prend une formule dans
laquelle les flux générés par l'obligation sont
actualisés à un taux actuariel. On peut donc résumer le
paragraphe précédent en disant simplement que : la duration est
la durée de vie moyenne des flux financiers d'un titre
pondérés par sa valeur actualisée. Toutes choses
étant égales par ailleurs, plus la duration est
élevée, plus le risque est grand.
L'expression de la duration D de Macaulay
s'écrit donc comme suit :
n
CCFi . i + r)i)
( CFi
+ r)i)
i=1
i=
(
(
1-F
r)i
Avec : CFi: Flux
générés par l'obligation pendant une période n
: l'intervalle de temps, exprimé en années,
séparant la date d'actualisation de la date de flux
r : le taux actuariel de l'obligation,
il représente la solution de l'équation :
P= ln
CFi
Remarque
La duration (D) est une mesure temporelle plutôt
approximative de la répercussion d'une variation des taux
d'intérêt sur la valeur d'une obligation.
d
Ainsi, on remarque que la mesure du risque,
dr s'exprime en fonction de la duration :
dP
dr
.D
. D'où, on déduira que la duration n'est rien
d'autre que l'élasticité (au signe
1+r
négatif) du prix de l'obligation par rapport au taux
actuariel (r) :
D = - d /
dr/(1+r)
Cette formule permet de conclure que plus la duration est grande
plus le risque d'exposition au taux d'intérêt est important.
Exemple : un exemple est
nécessaire pour comprendre cette notion de duration actuarielle :
Prenons une obligation remboursable in fine ayant pour
caractéristiques :
Prix : 94,12 ; Coupon : 6% ;
Maturité : 5 ans ; Taux de rendement actuariel :
8%.
En appliquant la formule de la duration actuarielle, et par
application numérique, on aura :
|
D = 6*1*(1,08))1
+6*2*(1,08))2+6*3*(1,08))3+6*4*(1,08))4+
106*5*(1,08)-~
94,12
|
=
|
408,48
94,12
|
? D = 4,34 années.
On constate que la duration est toujours inférieure
à la durée de vie de l'obligation du fait de l'actualisation des
flux1, elle correspond à la durée
nécessaire pour la récupération du capital investi et des
flux générés par l'investissement.
| 
