Utilisation des méthodes d'optimisations métaheuristiques pour la résolution du problème de répartition optimale de la puissance dans les réseaux électriques

I-5.2 Application de la méthode de Newton-Raphson, au problème de l'écoulement

de puissance

Mathématiquement, le problème de l'écoulement de puissance peut être réduit à un ensemble d'équations non-linéaires où le module et l'angle des tensions aux niveaux des jeux de barres sont les variables. Dans la forme la plus compacte, le nombre d'équations vaut approximativement deux fois le nombre de jeux de barres. Les non-linéarités peuvent être approximativement classées sous une forme quadratique. La technique de N-R basée sur le calcul du gradient et de la relaxation est utilisée comme méthodes de solution pour ces systèmes d'équations.

Le problème peut être résolu en utilisant soit les coordonnées rectangulaires soit les coordonnées polaires. Il est préférable d'utiliser la forme polaire pour faire apparaître les différentes grandeurs qui caractérisent le réseau électrique.

D'après la forme générale d'équations de puissance au J.d.B :

n P= i

y ij

V i

V j

cos(ä ä ã ) j i - + ij

Fip

j 1

n

i = 1,2, ,n (I-21)

Q_i

V i

V j

y ij

Fiq

sin(ä ä ã )

j i

- + ij

j 1

Où i = 1 c'est le J.d.B de référence

n : Nombre de J.d.B i : Numéro de J.d.B Après développement de _Fip ^et _Fiq en série de TAYLOR autour de la première approximation :

? F ? F ? F

(0) (0) (0) (0) (0) (0) (0)

= ( )

^ip ( )

^ip Ä + ( )

ip

P F + Ä +

ä + ä Ä V

i ip 2 n 2

? ä ? ä ? V

(I-22) )

2 n 2

? F ? F ? F

(0) iq (0) (0) (0) (0) (0) (0)

( ) Ä + ( )

^iq Ä + ( )

iq

Q F

= + ä + ä Ä V

i iq 2 n 2

? ä ? ä ? V

2 n 2

Ave ⁽⁰⁾

Fip et ⁽⁰⁾

Fiq ) sont des fonctions de tension et de phase :

ÄPP

A partir de la relation de Ä QQ

Avec c

P P F (0) (0) Ä = - i i ip(I-23) Q Q F (0) (0) Ä = - i i iq )

Les deux systèmesd'équationss(IV-2)) et(IV-3))donnentt :

? F _{2 2p p}? F _{2 2p} p?F _{2 2p} p?F22P 2 ⁽⁰⁾⁾¹? ä ₂ 2?ä n nV 2 ₂VV n

ÄA

p

ä (0) Ä 2 )

F₌

Ä P(0))? F F? F F?F F?F n

np np np np

^ÄA änn( 0))

? ä _{2 2}?ä_n nV ₂ 2Vnn

.

?a F _{2 2q q}? F 2 q ^q?F 2 q q?F22 _q

? ä _{2 2}?ä_n nV 2 2Vnn

ÄA Q ⁽⁰⁾⁾²

ÄAV2(0))

.

(0) ?a F nq _q? F nq q?Fnqq ?Fnqq

ÄA Q

ÄA Vnn (0)

_n ?a

ä 2 2?änn

V 2 2Vnn

Donc on peut écrire le système comme suit :

Ää⁽⁰⁾⁾ ₁ IJ(0))--11 ÄP(0))?>(0) (0)

Ä V Ä Q )

(I-24))

ÄA

ÄPP

(0)₌

(0)]Ää(0)m

On rappel que :

( K ) ( K 1)

+

Ä = ( K )

ä i ä i -

ä i

( k) ( K+1 ) (K)= V i - V i

V i

ÄA

i ?# 1( ref ), ii ?# 2(cont)(I-25))

V i

yij

cos(ä_j - ä _i + ãij)

, i ? j

V_j

n

+

j = 1, i ?j

yij

yij

cos( ã_ij )

Sous matrice J2:

Sous matrice J3:

Sous matrice J4:

sin(ä j - ä _i + ã_ii )

, i = j

?Pi = 2 V i

V_i

?

Q i = V i

cos(ä_j - ä + ã_i, )

, i ? j

?

? ä_i

cos(ä ä ã

- + ) j i ij

, i = j

yij

V_j

yij

V_j

n

? Q_i

V i

?

yij

V_j

ä i

j = 1, i ?j

?P_i

?

ä i

?P_i

?

V i

n

V_j

V i

yij

j = 1, i ?j

cos(ä - ä i+ ãij)

,i = j

sin(ä j - ä _i + ij

, i ? j

sin( ä- ä + ã _ii) - 2

sin( ãij)

, i = j

? Q_i

?

yij

V_j

V i

n

?

? Q_i

yij

V_j

V i

j = 1, i ?j

(I-27)

(I-29)

(I-31)

L'adaptation de (I-24) avec (I-25) donne :

( 1)

+ ä ( )

ä K ^K Ä ä

i = +

V ^K

( 1)

+ V ^K

( )

Ä V

D'une manière générale

? [ä _i ( K + 1) [_ä( K )

-1 Ap(k)

V ( K + 1)=

V ( K ) L

#177; L_J u()

V

- Ä)k

_[

ÄP] ÄQ = [ J ] ÄV

J=

J 1 J2 J 3 J4

J₁ , J₂ , J₃ , J₄ Sont les sous matrice de Jacobienne.