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Simulation numérique d'une flamme turbulente prémélangée axysimétrique par le code fluent

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par CHERAD Ibrahim OUBADI Abdelghani
Oum El Bouaghi - Ingénieur d'état en génémécanique-énergétique 2009
  

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CHAPITRE II

NOTIONS SUR LA TURBULENCE

1) Introduction

Chacun est capable de citer des effets bien visibles de la turbulence dans plusieurs cas dans la nature, elle est très proche de nous, par exemple la fumée d'une cheminée ou le développement d'un filet d'eau coulant d'un robinet.

Dans ces cas et d'autres, des structures tourbillonnaires plus ou moins organisées rendent l'écoulement complexe et il devient difficile d'en appréhender les détails, d'en prédire précisément l'évolution instantanée et locale, méme en mettant en oeuvre les moyens de calcul qui ne cessent de voir leur puissance s'accroitre.

La prise en compte, plus ou moins raffinée, de l'influence de ces structures est cependant indispensable dans une grande partie des applications industrielle courantes.

2) Oü observe t on la turbulence?

La turbulence est un phénomène présent de manière très facilement visible dans la nature :

v' Dans l'air : les rafales de vent, les mini-tornades dans le désert, le panache de fumée des grandes cheminées, turbulence atmosphérique : (tourbillons de taille > 1000 km).

v' Dans l'eau : le lait dans le café, les remous dans les rivières.

v' Dans la mer : le Gulf Stream

v' Dans la terre : le mouvement des plaques continentales

v' Dans l'espace : l'atmosphère externe de Jupiter

Il est également très présent dans les écoulements industriels :

v' Aérodynamique externe des voitures, des camions,

v' Sillage des avions

v' Aérodynamique interne dans les moteurs (combustion, etc....)

3) Les deux points de vue sur la turbulence

Et pourtant, certaines grandeurs macroscopiques sont bien reproductibles. Par exemple :

ü Traînée et portance d'une voiture dans une soufflerie donnée

ü Débit d'une conduite á haut Reynolds

ü Puissance d'un moteur á combustion

ü Température maximale des disques de frein

ü Durée de persistance du sillage d'un avion de ligne

ü Portance et traînée d'un avion

Les scientifiques ont alors deux points de vue possibles :

ü Soit chercher á moyenner directement la turbulence, á lisser le phénomène : c'est le point de vue statistique. On cherche uniquement les grandeurs moyennes, et l'énergie cinétique turbulente moyenne. C'est une vision "figée" ou "rationnelle" de la turbulence, souvent celle des numériciens.

ü Soit chercher á extraire la cohérence dans la turbulence : c'est le point de vue des "structures cohérentes". On cherche alors l'évolution des structures qui persistent au milieu du chaos, celles qui vont déterminer la physique de l'écoulement. C'est une vision instationnaire, fluctuante et plus expérimentaliste de la turbulence.

4) LiHxSpUHQcHRSH 5 HyQIIdN EILEE3)

Cette expérience montre le phénomène de la turbulence dans un écoulement turbulent, le colorant est rapidement dispersé avec formation des structures sous forme de volutes, appelées tourbillons. Dans cette situation, une mesure de la composante axiale de la vitesse (par vélocimétrie, laser ou par fil chaud) montre que celle-ci fluctue de façon aléatoire dans l'espace et le temps [9].

La figure suivant montre les déférents étapes de passage d'un écoulement laminaire à un écoulement turbulent en passant par le profile de transitionnel

Figure (2.1) :Le passage d'écoulement laminaire vers turbulent

5) Caractéristiques d'un écoulement turbulent

En général, un écoulement turbulent peut être caractérisé par les propriétés suivantes: v' L'écoulement est instationnaire.

v' Incertitude (de mesure, de calcul).

v' Le vecteur de vitesse en un point varie de façon aléatoire en direction et en module. v' L'écoulement contient un grand nombre de tourbillons de taille très variée.

v' Augmentation du mélange : forte diffusion des quantités transportées (exemple le lait et le café, la fumée, etc.).

v' Le bruit : les écoulements turbulents sont bruyants du fait des sources acoustiques créées par les fluctuations de pression dans le fluide. Cela peut générer de l'inconfort dans certains cas (exemple le bruit des rétroviseurs extérieurs des véhicules),

v' Les effets de la turbulence sont parfois positifs, parfois négatifs :

v' Effets positifs : l'augmentation du mélange permet d'améliorer la combustion par exemple, d'améliorer la portance des avions, de réduire la température. v' Effets négatifs : diffusion de la pollution.

6) La transition du laminaire au turbulent

Le nombre de Reynolds a été introduit par Osborne Reynolds en 1883. Il compare les termes de convection (non linéaires) aux termes de dissipation visqueuse [10].

(2.1)

Au fur et à mesure que le nombre de Reynolds augmente, on observe un changement de topologie de l'écoulement qui correspond à la transition laminaire/ turbulent. Le nombre de Reynolds critique correspond à ce passage, il est en général de l'ordre de 1000. Il prend

des valeurs différentes selon le type d'écoulement. Quand Re << 1 les termes non linéaires (la convection) sont masqués par la diffusion visqueuse, les équations se rapprochent donc d'équations linéaires.

Quand Re >> 1, les termes non linéaires deviennent prépondérants, et l'approximation linéaire n'est plus possible.


· Pour un écoulement de Poiseuille (écoulement dans un tube 1841), au delà de Re = 2000, les quantités ne dépendent plus du nombre de Reynolds. Le frottement est

proportionnel à ( ) au lieu de ( ) dans le cas laminaire

ü Pour un écoulement de Couette (écoulement entre deux plans infinis) :

ü Pour une couche limite sur plaque plane, on utilise le nombre de Reynolds basé sur l'épaisseur de couche limite ä

(2.2)

Pour Res = 5 20, la couche limite se développe suivant un profil de Blasius en 8=- .

Pour 5 20 < Res < 2000 on a une zone de transition dans laquelle se développent des ondes dites de Tollmien-Schlichting. Au delà, des petites échelles apparaissent et on parle alors de couche limite pleinement développée. Le nombre de Reynolds correspondant basé sur la distance x depuis le démarrage de la couche limite est d enviro n Rex = 106. Dans un écoulement d'air à (10m/s) la couche limite devient pleinement turbulente à environ (1m) du bord d'attaque.

ü Pour une couche de mélange (écoulement qui résulte du mélange de deux fluides injectés à deux vitesses différentes), le nombre de Reynolds critique basé sur la vitesse moyenne; (U2 -- U1)/2 et sur l'épaisseur de couche de mélange 8(x) et Rec = 25 00 environ

7) La cascade de KOLMOGOROV

La notion de Richardson (1881-1953) de la turbulence était qu'un écoulement turbulent est composé de tourbillons de différentes tailles. Les grands tourbillons sont instables et meurent en se cassant en tourbillons plus petits, et l'énergie cinétique du grand tourbillon initial est divisée par les plus petits tourbillons qu`il a généré. Ces petits tourbillons subissent le même processus, provoquant encore de plus petits tourbillons qui héritent de l'énergie de leurs tourbillons prédécesseurs, et ainsi de suite [10]. De cette façon, l'énergie passe des grandes échelles du mouvement aux plus petites échelles jusqu'à atteindre une échelle suffisamment petite de longueur tels que la viscosité du fluide peut efficacement absorber l'énergie cinétique dans l'énergie interne, cette vision de cascade n'est valable que d'un point de vu statistique.

Effectivement, la notion dynamique de cascade étape par étape est dénuée de sens. Il existe une théorie qui a contribué de façon majeure dans la compréhension de la turbulence, la théorie de Kolmogorov (1941). Elle repose sur une vision "statistique" de la turbulence, elle

dit que les tourbillons dans l'écoulement ont une taille comprise entre les deux tailles limites suivantes [10] :

v' La plus grande échelle de l'écoulement L (imposée par la géométrie de l'écoulement, par exemple typiquement le diamètre d'un cylindre, le diamètre d'une cheminée, ou encore la hauteur d'une voiture).

v' La plus petite échelle de l'écoulement : imposée par la viscosité du fluide cette

échelle est appelée échelle de Kolmogorov, ou échelle de dissipation visqueuse. L'ordre de grandeur entre et est le suivant [25] :

4 (2.3)

La théorie de la "cascade" énergétique prédit que les tourbillons ne reçoivent de l'énergie que des échelles les plus grandes qu'eux, et la transmettent ensuite aux échelles les plus petites qu'eux, et ainsi de suite jusqu'à la plus petite échelle présente dans l'écoulement `'l'échelle (ç)`'

On parle de production d'énergie lorsque les grosses structures sont générées, par un décollement par exemple, et de dissipation d'énergie lorsque les tourbillons disparaissent complètement en aval de l'obstacle. Lorsque la production d'énergie est égale à la dissipation d'énergie, on parle de turbulence "en équilibre".

Figure (2.2) : Dessin schématique de la cascade de KOLMOGOROV

Figure(2.3) :Cascade de Richardson

8) Quelques types de simulation numériques de la turbulence

Le besoin de recourir aux simulations numériques en Mécanique des Fluides est aujourd'hui omniprésent dans de multiples domaines d'applications (automobile, aéronautique et thermique par exemple) et ce pour plusieurs raisons. Tout d'abord, les simulations numériques permettent de comprendre les phénomènes impliqués dans un écoulement : l'accès à certaines informations est rendu possible, l'écoulement peut être calculé et donc visualisé en 3D.

De plus, les simulations numériques permettent de tester- l'influence de plusieurs paramètres sans avoir à reconstruire tout un banc expérimental. On conçoit évidemment qu'il est plus aisé, par exemple, de modifier un maillage de turbine à gaz plutôt que de faire construire de nouvelles pièces. Les simulations numériques peuvent également permettre d'observer les comportements d'un écoulement dans une géométrie à plus grande échelle ("scaling up") sans pour autant nécessiter la construction de pilotes encombrants (par exemple en lit fluidisé).

Il existe trois types de simulation numérique en Mécanique des fluides : DNS (Direct Numerical Simulation), LES (Large Eddy Simulation) et RANS (Reynolds Average Navier Stokes). Dans ces dernières années, on note le développement d'une nouvelle approche dite DES (Direct Eddy Simulation) qu'on ne va pas citer dans ce qui suit.

8.1) La simulation numérique directe (DNS)

Dans les simulations DNS, les équations de Navier-Stokes sont entièrement résolues : la turbulence est calculée et non plus modélisée. Ces simulations sont donc des plus précises mais ont un coût de calcul beaucoup trop élevé pour qu'il soit envisageable (du moins à ce jour) de simuler une configuration industrielle en DNS. En effet, le nombre de points nécessaire pour réaliser une DNS est directement lié au nombre de Reynolds de l'écoulement

( 4 )[10]. Les simulations de type DNS sont donc limitées à des calculs "académiques"

de type boîte cubique de petit côté, ou bien à des écoulements à faible nombre de Reynolds. Méme s'il n'est pas exclu qu'un jour les moyens de calcul autoriseront de telles simulations. 8.2) La simulation des grandes échelles (LES)

Les simulations LES résolvent les équations de Navier-Stokes filtrées spatialement, seules les petites structures sont modélisées alors que toutes les autres sont calculées. En pratique, le filtrage spatial est imposé par le maillage : seules les structures plus grosses que le maillage seront résolues.

Par ailleurs, des modèles, dits modèles de sous-maille, sont introduits pour simuler la turbulence des petites échelles. Avec ce genre de simulation, il est possible d'obtenir des grandeurs moyennes mais également des grandeurs fluctuantes, ce qui fait l'intérêt de la LES en comparaison aux simulations RANS. Les coûts de calcul, certes plus importants que pour des simulations RANS, restent raisonnables et autorisent la simulation de géométries complexes sur des maillages raffinés.

8.3) La simulation des équations de Navier Stokes moyennées (RANS)

Les simulations RANS résolvent les équations de Navier-Stokes moyennées. En d'autres termes, la turbulence est ici entièrement modélisée. De ce fait, les résultats obtenus ne sont pas toujours représentatifs de la réalité, surtout si les configurations simulées sont complexes (en situation réactive notamment). Toutefois ce type de simulation permet d'obtenir un bon ordre de grandeur de l'écoulement moyen aussi bien en termes de vitesse que de température ou de pression. C'est pour cela que beaucoup des codes industriels actuellement sur le marché sont basés sur ce principe. Le coût de calcul (en temps CPU) est en effet relativement faible, ce qui permet de simuler des configurations très complexes sur des maillages raffinés.

Le schéma suivant définit une comparaison graphique approximative des principales simulations

Figure (2.4) : La comparaison graphique des déférentes simulations

9) Les équations moyennées

On introduit dans les équations de Navier Stokes une décomposition, en une moyenne et une fluctuation, d'une composante du vecteur de vitesse ou, u ou. Celles ci peuvent s'écrire sous la forme :

u u u (2.4)

Où u une valeur moyenne indépendante du temps et u représente une partie fluctuante superposée à u.

Par définition, la moyenne temporelle de u est nulle, et on peut donc écrire : u ? u

(2.5)

u ? u

(2.6)

Où représente un laps de temps suffisamment long pour que les valeurs moyennes soient indépendantes du temps.

9.1) Quelques propriétés de la moyenne

1' La moyenne d'une somme est égale à la somme des moyennes :

g g

1' La moyenne d'un produit d'une fonction f par une constante est :

Attention cela ne marche pas pour deux fonctions non constantes:

9 g

v' La moyenne est invariant par elle-même : on tire de cette relation et de la

précédente que : g g

v' La moyenne d'une fluctuation est nulle : u

v' Mais la moyenne du carré d'une fluctuation n'est pas nulle: u u v' (Sauf si u )

v' On peut intervertir les opérations de moyenne et de différentiations ~ mais

cela ne marche pas avec la dérivée matérielle à cause du terme convectif (non linéaire). [10] 9.2) Equations de bilan moyennées au sens de Favre

Comme on souhaite obtenir des équations moyennées, si on utilise la décomposition de Reynolds employée pour les équations incompressibles :

Pour un terme comme


 
 

on aura :

)(

'~

 

(2.7)
(2.8)

(2.9)

(2.10)
(2.11)

 
 

)(

')

 

'

 

'

Et bien sur :

' = 0 ,

Alors :

 
 
 
 
 
 
 
 
 

(2.12)

On constate que cette moyenne sera difficile à utilisée en écoulement compressible en effet on souhaite que les équations moyennées gardent la même forme. Favre donc a définit un nouvel opérateur de moyenne (qui pondéré par la masse) :

Þ

(2.13)

A partir de cette moyenne la partie fluctuante de sera donnée par :

_ Þ

(2.14)

Comme la moyenne classique, l'opérateur de Favre est linéaire, il est aussi idempotent dans le sens que :

Þ Þ

Þ

 

Þ

9

Þ

9

Þ

9

9

Þ

9

On remarque par ailleurs que

Þ
Þ

Þ

 

~ ~

Et

Þ

Donc

Þ

 

(2.15)

(2.16)
(2.17)

10) Equation de la continuité L'introduction des valeurs instantanées au sens de Favre donne,


·
·
·

(2.18)

On voit que donc que la moyenne de Favre permet de garder garde la même forme à l'équation moyenne par rapport à l'équation original instantanée.

11) Equation de conservation de la quantité de mouvement

De la même façon, on introduit les valeurs instantanée dans l'équation de la quantité de mouvement et on obtient

~ ~ ~

Ou le tenseur de Reynolds s'écrit :

...
·
·
·
·
·
·

 

~ F (2.19)

 
 
 

(2.20)

U U

 
 

12) ( DUANOIEFIFIKAHAINFI IEBTON111

Sa forme moyennée s'écrit :

~ Þ ~ Þ

Þ ~ ( ~ )

Ou

~

~ (2.21)

Þ ~ ~

v Þ

............ U U

(2.22)

Le terme u u

est dit énergie turbulente moyenne.

Pour l'équation d'état on aura :

(2.23)

13) Quelques modèles de la turbulence

Les équations moyennes résultantes comportent de nouveaux termes qui traduisent la production des fluctuations des vitesses et constituent le transfert d'un mouvement convectif dû aux fluctuations de la vitesse. Ces nouveaux termes sont appelés les contraintes de Reynolds ( I ~ . ) . Celles-ci posent un problème de fermeture des équations gouvernantes, dont la résolution doit passer par une modélisation de la turbulence.

13.1) hypothèse de Boussinesq

Après qu'il fût établi expérimentalement que les contraintes turbulentes augmentaient avec l'augmentation de taux de déformation moyen des éléments de fluide. Boussinesq proposa une relation entre les contraintes de Reynolds et le taux de déformation, qui été donné par la suite:

~ ~ ~ ~

~ ~ 3 (

) (2.24)

Où est le symbole de Kronecker et l'énergie cinétique turbulente u u

Dans cette équation, le terme à modéliser est la viscosité turbulente , elle est liée dans la plupart des modèles aux structures turbulentes de l'écoulement à l'aide d'une expression de la forme :

u l (2.25)

Ou u est la vitesse caractéristique de la turbulence et I sa longueur caractéristique. Selon les modèles, la viscosité peut être déterminée par une relation algébrique, une ou deux équations différentielles.

13.2) Modèle à zéro équation

Ce modèle de turbulence est le plus simple car celui-ci ne fait appel à aucune équation de transport. Prandtl et Kolmogorov ont proposé une viscosité turbulente modélisée sur le produit d'une vitesse caractéristique U et d'une longueur caractéristique de turbulence I :

u l (2.26)

Avec :

13.3) Modèle à une équation de transport : Prandtl-Kolmogorov

La viscosité turbulente est déterminée comme suite

v l (2.27)

L'énergie cinétique de la turbulence est déterminée à l'aide d'une équation de transport, on trouve :

1

(

) (2.28)

Donc on trouve:

v |

1 | (2.29)

13.4) Modèles à deux équations

13.4.1) Modèle k-å

Ce modèle de turbulence est le plus utilisé en pratique, dû à Launder et Spalding (1974). Il consiste à introduire dans les équations de Navier-Stokes moyennées (ou équations de Reynolds) une viscosité turbulente pour modéliser les tensions de Reynolds et une diffusivité turbulente pour représenter les flux turbulents de masse et de quantité de chaleur. Cette viscosité est calculée à partir de deux grandeurs : l'énergie turbulente par unité de masse k et la dissipation par unité de masse. Ces deux grandeurs sont obtenues chacune par résolution d'une équation de transport. La viscosité turbulente :

Avec:

E

(2.30)

e v ~

~ (

) (2.31)

e, sont données par les équations de transport citées ci-dessous en n'import quel point du domaine d'écoulement.

( )

~ ~ ~ ~

{ (2.32)

( E) ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~

Et dans lesquelles le terme de production de l'énergie cinétique turbulente , et les coefficients de diffusion et E sont données par :

~

~

(2.33)

Et:

~~

{

(2.34)

E

~

Les coefficients du modèle sont déterminés par l'expérience comme suit[26]:

9 E E 9 c o-E

13.4.2) Le modèle k-å RNG

Le modèle k-å RNG a été dérivé utilisant une technique statistique appelle « Renormalization », il contient les avantages suivants :

ü Un terme additionnel dans l'équation de (å) qui améliore la précision des écoulements avec contraintes rapide.

ü L'effet de tourbillonnement est amélioré afin de croitre la précision des écoulements tourbillonnaires.

ü Prendre en compte l'effet des bas nombres de Reynolds.

ü Donc les équations de transport sont :

( )

~ ~~ ~ ~ ~

( E) ~ ~

~

~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~

{ (2.35)

Les coefficients et Esont les inverses du nombre de Prandtl pour k et å

respectivement. Pour un nombre de Reynolds élevé:

Þ E

E Þ E3

Þ ~

E ) ~Þ Þ (2.39)

( - )

E 9 , ff E E E

Avec:

~

(2.36)

{

ili = 0.012

Étant une mesure scalaire du tenseur de déformation :

v (2.37)

Est le tenseur des taux de rotation :

((2.38) Les constantes de ce modèle sont standard [11] :

9 E E 9 c ciE

Ces valeurs sont déterminées de l'expérience pour étudie un écoulement cisaillées. 14) Correction de Pope

Le modèle k-å prédit d'une manière très correcte les configurations planes, cependant il sous estime l'épanouissement des jets rond par environ 15%. Plusieurs auteurs on essayés de corriger ce problème en agissant directement sur les constantes du modèle. S. Pope a proposé une explication physique du problème du modèle k-å, selon laquelle il remarque que dans les écoulements axisymétriques, les tourbillons toriques qui entourent le jet vont être étirés, ce

qui provoque un taux de dissipation plus important comparativement au cas plan [11].

Mathématiquement, cette correction introduit un nouveau terme source dans l'équation de qui s'écrit :

Þ
E

Þ

u ~Þ *(

Q )

+

Notions sur la turbulence

 
 
 
 
 
 

36

Avec :

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

~

Þ
Þ

~

Þ

~

(2.40)
(2.41)

(2.42)

Þ

~

Þ

Þ

~

Þ

 
 
 

Dans le cas d'un écoulement axisymétrique sans prérotation, l'invariant Þ se réduit á :

~

( Þ

Þ (~Þ Þ) ~ Þ

) (2.43)

L'étirement des tourbillons n'intervient pas dans les écoulements plans, limitant ainsi la correction aux cas axisymétriques seulement.

15) La fermeture du second ordre

Il est possible de dériver des équations exactes pour les contraintes de Reynolds en prenant la moyenne temporelle (moment du second ordre).

1 (i ) l u ) (2.44)

Où u ) est l'opérateur de Navier-Stokes c a d :

u )

au a

a a ~

~~

~

~

On utilisant la moyenne de l'équation (2.44) pour cette dernière on obtient l'équation du transport des contraintes de Reynolds pour un écoulement incompressible donnée par :

u E k (2.45)

k k

Avec : est la production de l'énergie cinétique de turbulence, le terme des

contraintes de pression, e le terme du taux de dissipation et est le terme de diffusion du
troisième ordre, ils sont donnés par :

(2.46)

k k

Notions sur la turbulence

 
 
 

37

E

 
 

U

(2.47)
(2.48)
(2.49)

(

~

 

U

k k

U U U

La partie est la partie fluctuante du tenseur de contraintes. La première partie de

est le terme de triple vitesse, il représente le transport par la convection fluctuante. Les deux
autres termes sont de transport de pression (la corrélation vitesse pression). On remarque que
l'équation des contraintes de Reynolds contient une autre inconnue d'ordre supérieur

( u ~ u ). L'équation (2.49) peut être fermée par une formulation empirique, cela est du à la nature non linéaire des équations de Navier-stokes.

16) Conclusion

Cette analyse du phénomène de la turbulence a montrée les différentes approches de la simulation numérique utilisée pour les écoulements turbulents. On a mis en évidence les caractéristiques de l'approche RANS et le modèle - ~~.

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La Quadrature du Net