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Contrôle actif robuste d'une structure flexible

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par Lyes et Mohamed HADJOU et BELHOCINE
Mouloud MAMMERI Tizi-Ouzou - Master en automatique 2010
  

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3.3.3. Structure de la de commande LQG

Le régulateur LQG qui réalise l'optimisation du critère quadratique (3.8), est constitué de l'association d'un retour d'état et d'un filtre de Kalman , soit :

?

= -

) = ) + ( ) + - )

(3.9)

Où désigne le gain de l'observateur de Kalman, calculé de telle sorte qu'il minimise la

quantité : {[ ( ) - )] [ ( ) - )]}

Le gain du contrôle optimal et du filtre sont donnés par:

= ( + ) (3.10)

= ( + ) (3.11)

Où et sont solution des deux équations de Riccati suivantes :

( - ) + ( - ) - + - = 0 (3.12)

( - ) + ( - ) - + - = 0 (3.13)

Avec = > 0 représentant la covariance de l'erreur d'estimation - )

régime permanent.

41

Si l'état du système est entièrement mesurable, le filtre de Kalman n'est pas nécessaire. On

obtient alors le régulateur en appliquant directement la commande ( ) = - ( ).

Lorsque l'état du système n'est pas entièrement mesurable, on implante la commande par
l'intermédiaire d'un observateur. Le correcteur équivalent ( ) réalisant le rebouclage

( ) = - ( ) ( ) est alors :

( ) = - ( - + + ) (3.14)

La structure de la commande LQG est illustrée par la figure suivante :

( ) = 0

+ + +

+

-

+

+

( )

)

-

( )

( )

( )

Figure 3.3 - Structure d'un régulateur LQG

3.4. Commande LQG/LTR (Loop Transfert recovery) [13, 5]

La présence d'un observateur fait perdre les propriétés de robustesse de la méthode LQR. Pour se remédier a ce problème la synthèse d'une commande de type LQG qui recouvre asymptotiquement soit les propriétés de robustesse de la méthode LQ, soit celles du filtre de KALMAN est nécessaire.

La méthode LTR (recouvrement du transfert de la boucle) fait tendre asymptotiquement le transfert de boucle de la méthode LQG afin de se rapprocher du transfert qui serait obtenu avec un réglage LQ qui présente d'excellentes marges de stabilité.

3.4.1. Formulation du problème de commande (LQG/LTR)

La méthode LTR ne concerne que les systèmes propres définis par la représentation d'état ( , , , ) et qui vérifie :

1' = 0 (strictement propre).

1' ( - ) à minimum de phase.

?

= (nombre égal d'entrées et de sorties).

3.4.1.1. Recouvrement en entrée

Cette première approche consiste à effectuer le réglage des matrices et du filtre de

Kalman à partir d'un réglage nominale et en faisant augmenter le paramètre du
nouveau réglage :

= +

, =

(3.15)

Afin que le transfert de boucle ( ) ( ) recouvre asymptotiquement le transfert de

boucle - ( - ) de la méthode LQR.

uirn 8 ( ) ( ) = - ( - ) (3.16)

( ) = - ( - + + ) , ( ) = ( - ) (3.17)

3.4.1.2. Recouvrement en sortie

Cette seconde approche consiste à régler les matrices et du retour d'état LQ à partir d'un

43

réglage nominale et en faisant augmenter le paramètre du nouveau réglage :

= (3.18)

= +

,

Afin que le transfert de boucle ( ) ( ) recouvre asymptotiquement le transfert

- ( - ) du filtre de Kalman.

uim

-*8

( ) ( ) = -- ( - ) (3.19)

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"Je ne pense pas qu'un écrivain puisse avoir de profondes assises s'il n'a pas ressenti avec amertume les injustices de la société ou il vit"   Thomas Lanier dit Tennessie Williams