3.4.2. Synthèse d'un correcteur LQG/LTR
La démarche à suivre pour la synthèse du
correcteur consiste à :
1.
Synthétiser une loi de commande LQR par un choix
approprier des matrices et puis appliquer la première approche.
2.
Synthétiser le filtre du Kalman par un choix
approprié des matrices et puis
appliquer la deuxième
approche.
45
3.5. Application des commandes linéaires au
modèle quart de véhicule
L'ensemble contrôleur et modèle de la structure peut
être représenté par le schéma bloc suivante :
+
-
( )
( )
Figure 3.4 - Schéma bloc du régulateur et du
modèle.
3.5.1. Objectifs de contrôle
L'objectif double est d'assurer une bonne isolation vibratoire
vis-à-vis des sollicitations de la route pour le confort des passagers
et de maintenir un niveau d'adhérence au sol suffisamment important pour
garder le contrôle du véhicule en toute sécurité.
Comme nous l'avons vu au chapitre 1 (paragraphe 1.3.2.3.),
nous devons donc surveiller l'accélération verticale de la
caisse, le débattement de la suspension et l'écrasement du pneu.
On s'intéresse aussi à la commande en vérifiant qu'elle
satisfait les contraintes technologiques de l'actionneur.
3.5.2. Contrôle LQR
Le critère de performance s'écrit en fonction des
variables d'état sous la forme suivante :
+ + + ) (3.20)
1
2 (
|
est ensuite converti sous forme matricielle
|
|
+ + + ) (3.21)
1
2 (
Nous obtenons les matrices , et des équations:
(3.22)
0 0 0
- -
0 -
0 -
0
?
?
?
?
?
?
?
= - -
(3.23)
= + (3.24)
Les poids sont donnés dans le tableau suivant :
|
Poids
|
Variable
|
Critère
|
valeur
|
|
|
Accélération du châssis
|
1
|
|
|
Déflexion de la suspension
|
10 000
|
|
|
Déflexion du pneu
|
100 000
|
|
|
Force de l'actionneur
|
0.0001
|
Tableau 3.1 - Poids des pondérations multipliant les
critères Après résolution de l'équation de Riccati
nous obtenons :
= (-1431.1 22.1 761.4 642.1) (3.25)
alors :
* = 1431.1 * - 22.1 * - 761.4 * - 642.1 * (3.26)
3.5.3. Contrôle LQG
Les matrices de pondération , , et sont choisies comme
suit:
|
0
1
0
0
|
0
0
1
0
|
0
0
0 ,
1
|
1
10 0
0 0
0
0 0
0 1
,
= 100 *
0
1 0
0 0
0
0 0
0 1
= 1 (3.27)
10
10
10
47
10
Après résolution de l'équation de Riccati
nous obtenons :
(3.28)
= 10 *
0.0372
-2.2349
0.0644
-0.2107
alors, le correcteur de la loi de commande LQG est donné
par sa fonction de transfert :
1.888
· 10 + 1.431
· 10 + 1.347
· 10 +
3.454
· 10
( ) =
(3.29)
+ 106.9 + 1.227
· 10 + 7.376
· 10 + 2.605
· 10
3.5.4. Contrôle LQG/LTR
L'objectif de la procédure de réglage LTR est de
restaurer les marges de stabilité initiales du retour d'état LQR
(ou dualement du filtre de Kalman).
L'inconvénient de cette approche réside dans le
fait qu'augmenter revient à accorder plus d'importance au bruit
d'état, et donc à dégrader le filtrage de bruit de mesure.
Pour pouvoir donc limiter la sensibilité à ce bruit, on va
tolérer en pratique, un écart entre la matrice de transfert du
régulateur LQR et celle du régulateur LQG, il convient donc
d'arrêter l'augmentation de lorsqu'on a obtenu le recouvrement dans une
bonde de fréquence garantissant le niveau de performances et de
robustesse souhaité.
On utilisant un recouvrement en entrée, le tableau suivant
donne les marges de stabilité obtenue pour les différentes
valeurs du paramètre :
|
Marge de gain (dB)
|
Marge de phase ( °)
|
|
0
|
4.1865
|
Co
|
|
10
|
4.1867
|
Co
|
|
10
|
10.1149
|
Co
|
|
10
|
824.9638
|
Co
|
Tableau 3.2 - Marges de stabilité pour
déférentes valeurs de .
La valeur du paramètre , qui permet de satisfaire le
compromis performance/robustesse est
de = 10 .
Alors, le correcteur de la loi de commande LQG/LTR est
donné par sa fonction de transfert :
1.571
· 10 + 6.848
· 10 + 1.172
· 10 -
6.226
· 10
( ) =
+ 77.77 + 9583 + 1.974
· 10 + 3.149
· 10
Le tableau 3.3 permet de visualiser les marges de
stabilité du transfert de boucle ( ) ( )
pour les différentes lois de commande appliquée
:
|
Lois de commande
|
Marge de gain (dB)
|
Marge de phase ( °)
|
|
LQR
|
Co
|
Co
|
|
LQG
|
2.3124
|
Co
|
|
LQG/LTR
|
10.1149
|
Co
|
49
Tableau 3.3 - Marges de stabilité obtenus pour les
différentes lois de commande.
0.025 * (1 - cos(8 * * )) si 0 ~ ~ 0.25 (3.30)
0 si non
( ) =
| 
