1.3.3. Relation entrée-sortie
Le comportement dynamique d'un système linéaire
étant défini par l'évolution de ses variables
d'état, on sait que les variables d'observations (sortie) s'expriment
alors par une forme linéaire des variables d'état et des
variables d'entée (1.15).
La relation entrée-sortie temporelle (système
d'équations différentielles) est présentée sous la
forme opérationnelle en appliquant aux équations d'état et
d'observation la transformation de Laplace.
Soit I Fla transformé de Laplace de I F xM, oox ,
alors :
{ ( 1} Z I F - (1.18)
À l'instant Z 0 le système est au repos,
c'est-à-dire que son énergie emmagasinée est nulle, il en
découle ;
|
Z 0 , le système d'équation (1.17) devient :
|
16
que l'on peut encore écrire :
I F Z 1 1 F F (1.20)
d'où l'on tire la matrice de transfert :
I F Z , - H (1.21)
Avec F F Z , I F F F] , Z , z , Z , z
La matrice I F est une matrice rationnelle, c'est-à-dire
que ses composantes sont des fractions de polynômes en .
Il existe plusieurs façons de représenter la
matrice I F. Une possibilité consiste à calculer le
plus petit
commun multiple de tous les polynômes dénominateurs de I F, que
nous noterons
par I F. La matrice I F peut alors s'écrire :
I F Z E F (1.22)
E F
Où F F est une matrice polynomiale, c'est-à-dire
que ses composantes sont des polynômes
en . Une troisième
représentation I F consiste à utiliser des fractions de
matrices
polynomiales.
Nous pouvons alors écrire :
I F Z I I I F Z I F I F (1.23)
Où I F, I F, I F et I F sont des matrices polynomiales
avec I F et I F carrées
inversibles. Le couple I F, I F est une fraction de matrices
polynomiales à droite. Le
couple I F, I F est une fraction de matrices polynomiales
à gauche. En particulier, nous
avons :
I F Z CEi F F (1.24)
Les zéros du polynôme I F, c'est-à-dire les
valeurs pour lesquelles le polynôme s'annule,
sont les pôles du
système multivariables (racines de I F Z 0). Ce sont également
les zéros
des matrices polynomiales I F et I F.
> Avec l'approche par matrice de transfert, les
problèmes de commande reviennent à
étudier les propriétés algébriques
des matrices polynomiales et de leurs zéros.
Dans ce qui suit, nous introduirons une définition de
la notion de stabilité des systèmes linéaires et
invariants et les outils mathématiques de base nécessaires pour
l'analyse. Ces outils concernent essentiellement le calcul matriciel dans le
domaine complexe.
1.4. Notion de stabilité
La notion de stabilité est fondamentale dans le
développement des systèmes de commande et particulièrement
pour les architectures de commande à contre-réaction. En effet,
en l'absence de cette propriété qualitative, aucun système
n'est utilisable en pratique. Ce concept dont chacun a une compréhension
intuitive s'avère délicat à définir de
manière uniforme dans sa généralité. Il est le plus
souvent nécessaire de définir les propriétés
particulières du système que l'on souhaite caractériser
à travers une notion de stabilité qui sera adéquate.
Qualitativement, on dit qu'un système est dans un
état stable quand à la suite d'une
perturbation (de
durée limitée) il tend à retrouver son état initial
; cette définition est
18
satisfaisante pour les systèmes linéaires qui
évoluent selon une réponse transitoire amortie lorsqu'ils sont
stables.
Un autre point de vue peut être adopté où
la stabilité d'un système est définie simplement
au
sens d'un critère entrée-sortie ; un système sera
dit stable si sa réponse à toute entrée bornée
est bornée : on parle de stabilité _ f 1 I gl am
faél i gl am 1 l fél IF. Cette définition
ne met en jeu que les signaux exogènes ; aucune variable
interne n'est directement concernée.
| 
