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Contrôle actif robuste d'une structure flexible

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par Lyes et Mohamed HADJOU et BELHOCINE
Mouloud MAMMERI Tizi-Ouzou - Master en automatique 2010
  

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1.4.1. Conditions de stabilité

Dans le cas des systèmes linéaires invariants I F, la propriété de stabilité peut être testée en

vérifiant la localisation des valeurs propres de la matrice (racines du déterminant de la

matrice I C F, encore appelé polynôme caractéristique) ou de façon équivalente, des

pôles de la matrice de transfert I F, dans une certaine région du plan complexe. Pour les systèmes continus, cette région est le demi-plan complexe gauche. D'autres régions plus complexes peuvent également être considérées pour assurer une certaine performance du système. Il existe différents critères algébriques permettant de tester cette localisation des pôles, comme par exemple, le critère de Routh-Hurwitz.


· La Stabilité

 

Un système au repos (conditions initiales nulles) est stable au sens _ f1 si et seulement si

pour toute entrée I F bornée la sortie I F est bornée.

Théorème 1.1 : un système i of possédant entrées et sorties de matrice de réponse

impulsionnelle DI F est _ f 1 stable si et seulement s'il existe une constante [ M telle que :

5 --fi I I CI CI II DD

Il est à noter que la stabilité EIED n'impose pas à la réponse impulsionnelle d'être bornée.

Seule l'aire sous la courbe de la réponse impulsionnelle doit l'être. Toutefois, cette

caractérisation n'est pas facile à utiliser en pratique (calcul de l'intégrale de la valeur absolue de la réponse impulsionnelle). Cela nous conduit à chercher une caractérisation plus simple utilisant la fonction de transfert (matrice de transfert cas multivariables) qui est l'équivalent opérationnel de la réponse impulsionnelle, soit :

( ) = ( ) Fonction de transfert entre la é sortie et la é entrée.

Cette caractérisation peut être développée à partir de la localisation des pôles du système dans

le plan complexe. Alors, le système est BIBO stable si les pôles (zéros du polynôme ( )

définis au paragraphe 1.3.3), satisfont les trois conditions du théorème 1.2.

Théorème 1.2 : le système est BIBOstable si et seulement si :

) Les pôles de ( ) sont à partie réel négative

) ( ) Ne possède pas de pôles à l'origine

) Les pôles à partie réel nulles doivent être simples

20

1.5. Résultats de simulation

Nous présentons dans cette partie les résultats de simulation des différents critères de performances. Les valeurs des paramètres constants du modèle utilisés pour la simulation sont données par le tableau suivant :

symbole

paramètre

valeur

unité

 

Masse non suspendue

30

kg

 

Masse suspendue

250

kg

 

Ressort de la suspension

20000

N/m

 

Ressort du pneu

200000

N/m

 

Amortisseur de la suspension

1000

N.S/m

 

Amortisseur du pneu

100

N.S/m

Tableau 1.1 - Valeurs numériques des paramètres du modèle quart de véhicule

Afin d'analyser le comportement du système en boucle ouverte (sans contrôle) sur le plan fréquentiel et temporel, nous allons calculer ses valeurs propres, ensuite tracer les réponses fréquentielles de chaque critère de performance ainsi que les réponses temporelles.

? Valeurs propres

Valeurs propres

amortissements

Pulsations (rad/s)

-1.64 #177;48.43

0.195

8.59

-18.7 #177; 82.9

0.219

85

Tableau 1.2 - Pôles du modèle de la suspension quart de véhicule en boucle ouverte

Le système possède quatre valeurs propres complexes conjuguées à partie réelle négative, signifiant qu'il est donc stable.

Partie imaginaire

100 80 60 40 20

0 -20 -40 -60 -80 -100

La figure suivante présente le diagramme pôles zéros du système :

modes lents

modes rapides

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0

Fartie réelle

Figure 1.2 - Diagramme pôles-zéros du système

Nous constatons sur la figure 1.2, deux modes oscillatoires (pôles complexes conjugués), ces modes correspondent respectivement au mode lent de la caisse (masse suspendue) et au mode rapide de la roue (masse non suspendue).

? Réponses fréquentielles

Comme nous l'avons vu au paragraphe (1.3.2.3), nous devons surveiller l'accélération

verticale de la caisse ( ( ) ), le débattement de la suspension ( ) - ( ) et l'écrasement

du pneu ( ) - ( ) .

La figure suivante montre les résultats fréquentiels de simulation en boucle ouverte :

Diagramme de Bode du transfert Yacc(s)/w (s)

102

101

100

10-1

100 101

Magnitude (abs)

liagramme de Bode du transfert Ypneu(s)/w (s)

1

10-2

10-3

100 101

Magnitude (abs)

10

Fréquence (Hz) Fréquence (Hz)

Diagramme de Bode du transfert Ysusp(s)/w (s)

100

10-1

10-2

10-3

100 101

Magnitude (abs)

22

Fréquence (Hz)

Figure 1.3 - Réponse fréquentielle des critères de performances

Le test temporel simule le passage du véhicule sur un profil de la route ayant comme équation :

(

33

33333 333 3 33333 3 3 33 33 3 3 3 333 (1.26)

3 33333

Dans notre cas est considérée comme étant le profil de la route 2 3, ceci s'explique par le fait que l'amortissement du pneu peut être négligé.

Accélération Verticale de Caisse

0 0.5 1 1.5 2

temps (s)

x 10-4 Ecrasement du pneu

passif

0 0.5 1 1.5 2

tamps (s)

Amplitude (m)

4

2

0

-2

-4

-6

Amplitude (m/s2)

-0.2

-0.4

0.4

0.2

0

passif

x 10-3 Débattement de suspension

Amplitude (m)

-2

-4

4

2

0

passif

0 0.5 1 1.5 2

temps (s)

Figure 1.4 - Réponse temporelle des critères de performances

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"Les esprits médiocres condamnent d'ordinaire tout ce qui passe leur portée"   François de la Rochefoucauld