Elaboration d'une stratégie de coordination de mouvements pour un manipulateur mobile redondant

IV.6. Modèle cinématique inverse

Le modèle cinématique inverse consiste à trouver un mouvement généralisé pour une Tâche à Mouvement Opérationnel Imposé. Pour un manipulateur mobile évoluant dans un espace tridimensionnel, le modèle cinématique inverse consiste à imposer les vitesses dans

l'espace Opérationnel [ ]T

A & = A & 1 A & 2 A & 3 A & 4 A & 5 A & 6 dans le but d'aboutir à des vitesses généralisées [ ]T

q & cfg = q & b1 . . . q & bn X & P Y & P á & comme cela est présenté en Fig.IV.1 6.

FigIV.16. Modèle cinématique inverse

Pour le système que nous allons étudier, il comporte une particularité, puisque la taille du vecteur des vitesses opérationnelles [ ]T

A & = A & 1 A & 2 & A ₃ qui sont en entrée est inférieure à la taille du vecteur des vitesses généralisées q& cgf = [ q & b1 q & b2 q & b3 q & b4 ç _p ] qui sont en sortie.

La figure suivante schématise le modèle cinématique inverse du bras manipulateur Mitsubishi PA10 7CE, embarqué sur une plateforme mobile non holonome de type voiture.

Fig.IV.17.Modèle cinématique du système à étudier

Dans le cadre de notre étude, le modèle cinématique inverse va être calculé relativement au modèle géométrique inverse. Un échantillon C quelconque va être considéré relativement à ses coordonnées en position [X_c Y_c Z_c]^T, ainsi que ses vitesses opérationnelles [X& c Y& c Z & c ]T

selon les direction des trois axes xrA, yrA et zrA. C va être représenté par le vecteur [X_c Y_c
Z _c X & c Y & c Z & c ]T . Pour pouvoir calculer le modèle cinématique inverse du système considéré, il
nous faut inverser le modèle géométrique, de sorte à atteindre les coordonnées opérationnelles

c c

[X_c Y_c Z_c]^T, pour accéder à la configuration c c

qcgf =[ q _b1 q q q X Y á ]^T . Grâce à

c c c c

b2 b 3 b 4 P P

cette configuration, nous calculerons la matrice jacobienne réduite c

J illustrée en équation

(4.27).

Finalement, pour atteindre les vitesses généralisées c

q& _cgf =[c

q & b1 q & q & q & ç ]^T en imposant c c c c

b 2 b 3 b 4 p

les vitesses opérationnelles [X& c Y& c Z & c ]T de l'échantillon C, il nous faut inverser la matrice jacobienne ^c

J propre à c

qcgf

· Problématique

La matrice jacobienne réduite résultante exprimée en équation (4.27) comporte un nombre de lignes égal à 3 et un nombre de colonnes égal à 5.

Dans un cadre général, pour une configuration régulière, un système redondant cinématiquement comporte une matrice jacobienne J ayant (u lignes x í colonnes), avec u inférieure à í (u <í).

Le système est présenté symboliquement par :

?

?

?

??

1 ? ? ?]

(4.28)

A 1

& 1 11 1

1 J J

... í 1 q &

? ? ? ?

: = : ... : :

? ? ? ?

A & u q

? ? ? ?

]u uí í

? J J &

1 ... ]

1 44 ₂ 44 3

J

Et son modèle inverse sera donc :

?

?

?

??

1

?

?

?

]

q 1

? ... ? &

1 1 ? A

1

? ? ? ?

(4.29)

: = : . . . : :

? ? ? ?

q í A u

? ? ? ] ? &

] 1 4₂ 43

? ? ... ? ?

- 1

J

Nous pourrons remarquer que pour le cas de figure présenté dans cette partie, la matrice jacobienne réduite J n'est pas carrée, ce qui rend délicat son procédé d'inversion.

· Solution

Une méthode d'inversion du modèle cinématique consiste à imposer des contraintes en vitesses au système, pour que ça devienne un système de Cramer [Fou98] avec une jacobienne réduite carrée apte à être inversée.

La méthode en question est appelée « méthode des tâches additionnelles » ; nous allons dans ce qui suit expliciter le principe de ce procédé, en nous ramenant au cas particulier de notre système.