IV.6.1. Méthode des Tâches additionnelles
Dans le cadre de notre étude, le système
considéré est redondant cinématiquement, puisqu'il existe
une infinité de solutions au problème d'inversion du
modèle cinématique. Nous allons donc formuler nos données
relativement à ce cas de figure.
Pour un manipulateur mobile quelconque, comportant un bras
manipulateur redondant vis à vis de la tâche de manipulation, et
une plateforme mobile non holonome, la matrice jacobienne réduite
résultante J de dimension u xí n'est
pas carrée ; pour y parvenir, la méthode des tâches
additionnelles admet l'intrusion de (í-u ) lignes
supplémentaires, de sorte à générer une matrice
carrée apte à être inversée directement, et donnant
un résultat unique dans l'espace des configurations .
Pour un manipulateur mobile quelconque, nous avons :
&
{ { 123
A = J q (4.30)
[ ][ cfg ]
&
ux
í
u
í
La méthode des tâches additionnelles nous permet
d'avoir le système d'équations suivant :
&
]
Wa J a q
= [ ] [ &
í
x
í x 1
{ { 123 cfg
íu í u
- ( - )
(4.31)
Que nous ajouterons à l'équation (4.30) pour avoir
[Bay01]:
?
???
&
? ?
A J
J a
1
??
123
í { Jt
=
?? ??
&
Wa
? {
[ ]
(4.3 2)
q & { cfg
í
í í
x
Les lignes injectées représentent des contraintes
par rapport au mouvement, car nous allons imposer des vitesses.
o Modèle cinématique inverse du
manipulateur mobile à étudier
Le manipulateur mobile comportant le porteur du bras
Mitsubishi PA10 7CE embarqué sur une plateforme mobile de type voiture,
est considéré comme redondant cinématiquement, puisque la
dimension í du vecteur des vitesses
généralisées c
q& cgf =[c
q & b1 q & q & q
& ç ]T (égale
c c c c
b2 b 3 b 4 p
à 5), est supérieure à la dimension
u du vecteur des vitesses
opérationnelles [ ]T
A & = A&1 A& 2
& A 3 (égale à 3).
Le nombre de tâches additionnelles pour que la matrice
devienne carrée, et donc inversible,
est í-u =5-3=2.
· Première tâche
additionnelle
Le choix de la première tâche additionnelle
s'impose directement, elle est déduite du modèle
géométrique inverse, car, lors de cette phase, nous avons
imposé les vitessesX& P,
Y&P et á&. Ces variables
sont liées par un vecteur à la mobilité
çp qui est choisie comme étant la
première tâche additionnelle, la représentation de la
cinématique du système est donc la suivante :
79
0
0 0
0 1
1 ?
?
?
?
?
?
J
&
}Câ
3
}Câ
3
Câ
3
&
qb
1
&
qb2
&
qb
3
1 ? ? ? ? ? ? J
&
& &
XE,YE
ou Z&E relativement au
repère RB0, la cinématique du système
sera la suivante :
Chapitre IV Modélisation
Cette tâche ne représente pas vraiment une
contrainte puisqu'elle est considérée faisant partie de la
stratégie de planification de trajectoire. Si ce n'était pas le
cas, un choix étant effectué dans ce sens aurait pu être
défaillant, car le mouvement de la plateforme aurait certes
été complètement maîtrisé, mais le mouvement
imposé à l'organe terminal ne l'aurait pas été
forcement [Fou98].
· Deuxième tâche
additionnelle
Le choix de cette tâche est moins immédiat, car
lors de la phase de planification de trajectoire, nous n'avions pas
imposé d'autres vitesses hormis celle de la plateforme, donc nous allons
dans ce qui suit présenter trois choix pour cette seconde tâche
additionnelle.
· Premier choix
Puisque le porteur du bras comporte quatre coordonnées
généralisées Ang =[qb1 qb2 qb3
qb4]T pouvant être contrôlées en vitesse,
alors A&ng =[ q & b1 q
& b2 q & b3 q & b4 ]T ; ce vecteur
peut influer
sur quatre paramètres qui sont
[A&1 A & 2 A
& 3 A & 4 ] T . Les trois premiers
paramètres sont imposés
par la tâche à mouvement
opérationnel imposé, mais
A&4 ne l'est pas, même si le
bras
manipulateur est effectivement apte à
générer une vitesse dans ce sens. Alors, nous pourrons
considérer ce paramètre comme étant un premier choix:
C J S J C J S J C J S J C J S LC
á á á á á á
á á
- - - -
21 12 22 13 23 14 24
J S J C J S J C J S J C J S J C LS S
11 21 12 22 13 23 14 24
á á á á á á
á á á â
+ + + + -
J J
33 34
J J
43 44
· Deuxième choix
Le deuxième choix peut se faire dans le sens d'imposer une
des vitesses opérationnelles
J11
Cá
J C J S J
11 21 12
á á
-
&
qb1
&
qb2
&
qb
3
1 ?
?
?
?
?
?
J
&
0
0 0
}Câ
3
0
J34
0 1
- -
J S J C J S J C
22 13 23 14
á á á
J J J
31 3233
- + + +
{ ( ' ) ( ' )
a XE S b YE C
3 á á
S a XE b YE C
â á á â
3 3
+ + - +
{ }
( ' )C ( ' )S
- -
J S LC S
24 á á â
J S J C J S J C J S J C J S J C LS
11 21 12 22 13 23 14 24
á á á á á á
á á á
+ + + + -
&
A1
&
=
A2
&
1 ?
?
?
?
?
? J
A3
çp
1 ?
?
?
?
J
qb4
ç p
&
A1
&
A2
&
A3
A4
çp
= ? J J
31 32
?
J J
41 42
- + + +
{ ( ' ) ( ' )
a XE S b YE C
3 á á
Sâ
+ + - +
{ ( ' )C ( ' )S
a XE b YE
3 á á
0
1 ?
?
?
?
?
?J
qb4
ç p
1 ?
?
?
?
?
?
J
&
} C â
3
1 ?
?
?
?
?
?
J
&
0
0 0
0 1
C J S J C J S J C J S J C J S LC S
á á á á á á
á á â
- - - -
21 12 22 13 23 14 24
J S J C J S J C J S J C J S J C LS S
11 21 12 22 13 23 14 24
á á á á á á
á á á â
+ + + + -
J11
= ? J J
31 32
?
J J
11 12
J J
33 34
J J
13 14
XE
çp
A2
A3
A1
&
&
&
- + + +
{ ( ' ) ( ' )
a XE S b YE C
3 á á
+ + - +
{ ( ' )C ( ' )S
a XE b YE
3 á á
0
0
} C â
1 ? ? ? ? ? ?J
&
q b1
2
3
&
qb3
qb4
ç p
&
qb
1 ?
?
?
?
?
J?
?
?
?
&
qb1
&
q b2
&
qb 3
Dans cette équation , nous avons imposé
X&E, le même procédé sera
adopté en imposant les vitesses opérationnelles
Y&E ouZ&E,
sauf que le vecteur [J11 J12 J13 J14 0] sera remplacé
respectivement par [J21 J22 J23 J24 0] ou [J31 J32 J33 J34
0].
· Troisième choix
Un troisième choix de tâche peut se faire dans le
sens d'imposer une des quatre vitesses généralisées
A& ng = [q&b1 q &
b2 q & b3 q & b4 ]T, ce qui
donnera le système d'équations suivant (en
imposant q& b1):
&
A1
&
A2
&
A3
1 ?
?
?
?
?
?
J
J11
- + + +
{ ( ' ) ( ' )
a XE S b YE C
3 á á
C J S J C J S J C J S J C J S LC S
á á á á á á
á á â
- - - -
21 12 22 13 23 14 24
J S J C J S J C J S J C J S J C LS S
11 21 12 22 13 23 14 24
|
= ? J J
31 32
?
|
J J
33 34
|
á á á á á á
á á á â
+ + + + -
}Câ 3
}Câ 3
+ + - +
{ ( ' )C ( ' )S
a XE b YE
3 á á
0
&
q b1
çp
& Ò
?
J
qb4
çp
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
Si le choix se portait sur une autre vitesse
généralisée, il ne suffit qu'à changer la
quatrième ligne de la jacobienne réduite selon le choix de la
vitesse généralisée à imposer.
| 
