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INTRODUCTION
En mathématique, plus précisément en
calcul différentiel, une Equation aux dérivées partielles,
parfois appelée équation différentielle partielle, qui
sera abrégée dans la suite EDP, est équation fonctionnelle
qui met en relation des dérivées partielles.
Beaucoup de phénomènes naturels sont
modalisés par des équations aux dérivées partielles
comme les prévisions météorologiques, les secousses
sismiques, les mouvements des océans, ...dans les disciplines
scientifiques telles que l'économie, la finance, les sciences
médicales, acoustique, aérodynamique, dynamique des fluides,
élasticité, géophysique, mécanique, optique,
électricité, etc.
Il existe plusieurs types d'EDP selon leur
ordre. Quant aux EDP du second ordre qui font l'objet de notre étude, il
en existe généralement trois. Malheureusement, il n'existe pas
une méthode générale pouvant permettre leur
résolution. Suite à cela, dans la plupart des cas, il est
extrêmement difficile, voire impossible de montrer les solutions d'une
EDP. Dans d'autres cas, on aboutit à montrer que le problème est
bien posé, i.e. admet une solution unique et on peut parfois calculer
les approximations numériques des solutions.
Les séries trigonométriques et
les séries des Fourier constituent deux théories bien distinctes,
même si elles ont des liens profonds. Ces deux théories ont pour
point de départ les travaux de J.B.J. Fourier sur la propagation de la
chaleur dans les solides. Elles ont dû pour cela remonter, dès
leur naissance, des multiples objections et obstacles, car le moins qu'on
puisse dire est qu'elles ne sont pas faciles, mais les résultats ont des
retombés dans les domaines voisins, appliqués (EDP) ou
théoriques (topologie et théories des ensembles,
intégration, analyse fonctionnelle...).
Ceci étant, nous avons voulu aussi les appliquer
à l'intégration des quelques EDP linéaires. D'où le
choix de notre sujet : Application des séries de Fourier à
l'intégration de quelques EDP linéaires du second ordre.
L'intérêt de notre étude n'est pas
uniquement didactique, mais il se veut aussi un outil de
référence pour tout chercheur qui aura besoin d'enrichir son
bagage intellectuel et de trouver certaines fonctions qui y seront
analysées.
Notre étude n'est pas la première à
être abordée dans le domaine d'analyse mathématique. Les
travaux ci-après nous ont précédés :
1. KALAKI MBUYI S, Etudes singulières des
problèmes quasi-linéaires elliptiques, mémoire, U.P.KAN.,
2022, il a monté qu'en utilisant les séries de Fourier on peut
trouver les solutions singulières des EDP du type elliptique
quasi-linéaires.Toutefois, le domaine de résolution est fixe et
ce domaine peut être le carré, le rectangle, le
cylindre ;
2. KALONGA NTAMBUE E., Application des polynômes de
Legendre à la résolution d'une EDP, TFC, U.P.KAN., 2019. L'auteur
a montré que la solution de l'EDP de Laplace peut être
exprimée sous forme des polynômes de Legendre.
Après avoir lu ces divers travaux, nous constatons que
nos prédécesseurs ont abordé leurs sujets en analyse
fonctionnelle, tous sur les problèmes elliptiques (EDP de Laplace).
Les EDP constituent un terrain de jeu extrêmement riche
et vaste ; et, elles sont à l'origine de beaucoup de concepts
comme : la transformation de Fourier et la théorie de
distribution.Elles sont regroupées en trois types ou grandes classes
fondamentales : EDP du type elliptique, parabolique et hyperbolique. Nous
nous sommes intéressé à toutes ces classes d'EDP du second
ordre.
Ainsi, la problématique de notre recherche se
présente de la manière suivante :
v Les séries de Fourier peuvent-elles être
applicables à l'intégration de quelques EDP linéaires du
second ordre ?
v Quelles en sont des solutions et leur nature ?
En utilisant les séries de Fourier, on peut obtenir les
solutions de quelques EDP linéaires du second ordre toutefois le domaine
fixe qui peut être le carré, le rectangle, le cercle, etc. Et, ces
solutions pourront avoir la forme d'une série de Fourier par l'existence
et l'unicité de la solution.
Nous utiliserons la méthode analytique pour arriver
à l'analyse des certaines EDP en but d'en trouver solutions et
démontrer certains théorèmes, propositions et lemmes. Nous
avons utilisé la technique documentaire qui nous permettra de consulter
différents documents pour mener cette étude.
Excepté l'introduction et la conclusion
générales, notre mémoire comprend trois chapitres :
Ø Le premier s'intitule :
Généralités sur les équations
différentielles ordinaires et partielles ;
Ø Le deuxième est consacré aux
généralités sur les séries de Fourier ;
Ø Le troisième et le dernier est axé sur
l'application des séries de Fourier à la résolution de
quelques EDP linéaires du second ordre : EDP de la chaleur, des
ondes et de Laplace.
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