Application de série de fourier à l'intégration de quelques EDP linéaires du second ordre

CHAPITRE I : GENERALITES SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES ET LES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES

1. LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES

Définition I.1.1[9]  une équation différentielle est une relation entre la variable , une fonction inconnue et ses dérivées

L'entier n s'appelle ordre de l'équation différentielle

Définition 1.1.2 [9] Intégrer l'équation différentielle , c'est trouver toutes les fonctions qui vérifient cette relation.

Une telle fonction s'appelle solution, ou intégrale de l'équation . Le graphe de la fonction est appelé courbe intégrale de l'équation différentielle .

Intégrer l'équation revient à trouver toutes les courbes intégrales.

Exemple 1.1.1

a) est une équation différentielle du 1^er ordre ;

b) estune équation différentielle du 2^ème ordre.

I.1.1. EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE [9]

Définition 1.1.3 une EDO est dite du premier ordre, si elle est de la forme

Il y a trois classes principales d'équations différentielles du premier ordre :

1° Equations à variables séparables ;

2° Equations homogènes (où ne dépend que du rapport ) ;

3° Equations linéaires ( où et sont au premier degré).

Ces dernières peuvent être à coefficients constants ou non, sans second membre ou avec second membre.

Exemples 1. 1. 2

a. est une EDO à variables séparables du 1^er ordre ;

b. est une EDO homogène du 1^er ordre ;

c. est une EDO linéaire du 1^er ordre.

EQUATIONS A VARIABLES SEPAREES 1.1.1.1

Définition 1.1.4 on appelle EDO à variable séparées, toute EDO pouvant s'écrire :

Où et dépendent respectivement de et de Puis on intègre les deux membres sans oublier la constante d'intégration , enfin, on se force de donner les solutions sous la forme explicite

Exemple 1. 1. 3Soit l'EDO du premier ordre :

On l'écrit sous la forme

Soit +c

ou encore posons

EQUATIONS HOMOGENES 1.1.1.2

Définition 1.1.5une EDO est dite homogène lorsqu'on peut la mettre sous la forme :

Une telle EDO ne change pas lorsqu'on remplace par et par où .

RESOLUTION : on pose ou ou une nouvellefonction inconnue.

On sait que

Remplaçons par sa valeur :

Séparons les variables

Intégrons membres à membre et obtenons

Ou

Portons cette dernière égalité dans , on obtient

Exemple 1.1.4 soit à résoudre l'équation , une EDO Homogène du 1^er ordre.

Elle peut s'écrire sous la forme suivante :

Posons , d'où L'équation devient :

Ou en divisant par et en supposant pour fixer les idées,

En intégrant membre à membre, on a :

Posons

Elevons les deux membres au carré, pour exprimer en fonction de :

Puis que nous trouvons finalement :

(c'est l'équation d'une formule de paraboles).