CHAPITRE I : GENERALITES SUR LES EQUATIONS
DIFFERENTIELLES ORDINAIRES ET LES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES
1. LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES
Définition I.1.1[9] une
équation différentielle est une relation entre la
variable   , une fonction inconnue   et ses dérivées
L'entier n s'appelle ordre de l'équation
différentielle  
Définition 1.1.2 [9]
Intégrer l'équation différentielle   , c'est trouver toutes les fonctions   qui vérifient cette relation.
Une telle fonction   s'appelle solution, ou intégrale de l'équation   . Le graphe de la fonction   est appelé courbe intégrale de l'équation
différentielle   .
Intégrer l'équation   revient à trouver toutes les courbes intégrales.
Exemple 1.1.1
 a)  est une équation différentielle du 1er
ordre ;
 b)  estune équation différentielle du 2ème
ordre.
I.1.1. EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE [9]
Définition 1.1.3 une EDO est dite du premier
ordre, si elle est de la forme
Il y a trois classes principales d'équations
différentielles du premier ordre :
1° Equations à variables
séparables ;
2° Equations homogènes (où   ne dépend que du rapport   ) ;
3° Equations linéaires ( où   et   sont au premier degré).
Ces dernières peuvent être à coefficients
constants ou non, sans second membre ou avec second membre.
Exemples 1. 1. 2
 a.  est une EDO à variables séparables du 1er
ordre ;
 b.  est une EDO homogène du 1er ordre ;
 c.  est une EDO linéaire du 1er ordre.
EQUATIONS A VARIABLES SEPAREES 1.1.1.1
Définition 1.1.4 on appelle EDO à
variable séparées, toute EDO pouvant s'écrire :
Où   et   dépendent respectivement de   et de   Puis on intègre les deux membres sans oublier la constante
d'intégration   , enfin, on se force de donner les solutions sous la forme explicite
Exemple 1. 1. 3Soit l'EDO du premier ordre :
 
On l'écrit sous la forme  
 
Soit  +c
ou encore   posons  
EQUATIONS HOMOGENES 1.1.1.2
Définition 1.1.5une EDO est dite
homogène lorsqu'on peut la mettre sous la forme :
Une telle EDO ne change pas lorsqu'on remplace   par   et   par   où   .
RESOLUTION : on pose   ou   ou une nouvellefonction inconnue.
On sait que  
Remplaçons   par sa valeur :
Séparons les variables
Intégrons membres à membre et obtenons
Ou
Portons cette dernière égalité dans   , on obtient
Exemple 1.1.4 soit à résoudre
l'équation  , une EDO Homogène du 1er ordre.
Elle peut s'écrire sous la forme suivante :
Posons   , d'où   L'équation devient :
 
Ou en divisant par   et en supposant   pour fixer les idées,
En intégrant membre à membre, on a :
Posons  
Elevons les deux membres au carré, pour exprimer   en fonction de   :
Puis que  nous trouvons finalement :
  (c'est l'équation d'une formule de paraboles).
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