Application de série de fourier à l'intégration de quelques EDP linéaires du second ordre

EQUATIONS LINAIRES 1. 1. 1. 3

Définition 1. 1. 6une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation de la forme :

Où et sont des fonctions continues de la variable

Lorsque le second membre est nul, on dit que l'équation différentielle linéaire est sans second membre.

Exemples 1. 1. 5

a. est une EDO linéaire du 1^er ordre avec second membre ;

b. est une EDO linéaire du 1^er ordre sans second membre.

A. EQUATION LINEAIRE SANS SECOND MEMBRE

Considérons l'équation

RESOLUTION : la résolution est très simple car on se ramène au premier type d'équations du premier ordre (à variables séparables) : on peut en effet séparer les variables et l'intégration est immédiate.

Sachant que

En intégrant membre à membre, on obtient :

Posons , une solution de l'équation homogène.

Les solutions de l'équation sont de la forme :

où est une solution particulière non nulle de qui est possible de calculer par quadrature.

Exemple 1. 1. 6 soit à résoudre dans l'EDO :

SOLUTION : Divisons l'EDO par pour raison de normalisation

Intégrons membre à membre :

Du 2^ème membre, posons

En remplaçant toujours dans le 2^ème membre, on obtient :

Or , alors

A. 1 EQUATION A COEFFICEINTS CONSTANTS

On se place dans le cas où est une constante et l'équation devient :

RESOLUTION :

En intégrant membre à membre, on obtient :

les solutions de .

Exemple 1. 1. 7 Soit à intégrer dans l'équation :

SOLUTION

Intégrons membre à membre :

Posons

B. EQAUATION LINEAIRES AVEC SECOND MEMBRE

L'équation linéaire du premier ordre avec second membre est de la forme :

SOLUTION  posons où est la solution de l'équation ici appelée équation associée à

La fonction est définie par

Ce changement de fonction revient à remplacer dans l'expression la constante par une fonction variable , d'où le nom de variation de constante donné à cette méthode. Elle consiste à calculer la dérivée de

de la manière suivante :

En remplaçant dans , on obtient :

Puisque est la solution de l'équation ,il reste donc à considérer

Ou

En intégrant membre à membre, on a :

où est une solution particulière.

Ceci étant, la solution générale s'en déduit en multipliant les deux membres par , c'est-à-dire :

Or au départ était , d'où :

Exemple 1. 1. 8soit à intégrer l'équation différentielle linéaire

SOLUTION

En effet, l'équation homogène associée est :

Séparons les variables :

Intégrons membre à membre :

est la solution particulière de l'équation homogène associée.

Utilisons la méthode de variation de constante pour trouver la solution générale :

équation donnée

la solution de l'équation homogène associée.

Portons ces dernières dans l'équation donnée :

Portons les valeurs de dans la solution homogène, on a :

Solution générale de l'équation donnée.

C. EQUATION LINEAIRE A COEFFICIENTS ET SECOND MEMBRE CONSTANTS

Dans ce cas, l'équation devient :

Où et sont deux nombres réels.

RESOLUTION : on peut dans ce cas séparer les variables, en conservant le second membre :

Intégrons :

Multiplions les deux membres par pour trouver

Exemple 1. 1. 9 Soit à intégrer l'équation

On peut écrire successivement

En intégrant, on obtient :

D'où,

Et enfin en posant