EQUATIONS LINAIRES 1. 1. 1. 3
Définition 1. 1. 6une équation
différentielle linéaire du premier ordre est une
équation de la forme :
Où   et   sont des fonctions continues de la variable  
Lorsque le second membre   est nul, on dit que l'équation différentielle
linéaire   est sans second membre.
Exemples 1. 1. 5
 a.  est une EDO linéaire du 1er ordre avec second
membre ;
 b.  est une EDO linéaire du 1er ordre sans second
membre.
A. EQUATION LINEAIRE SANS SECOND MEMBRE
Considérons l'équation
RESOLUTION : la résolution est très simple
car on se ramène au premier type d'équations du premier ordre
(à variables séparables) : on peut en effet séparer
les variables et l'intégration est immédiate.
Sachant que  
En intégrant membre à membre, on
obtient :
Posons   , une solution de l'équation homogène.
Les solutions de l'équation   sont de la forme :
  où   est une solution particulière non nulle de   qui est possible de calculer par quadrature.
Exemple 1. 1. 6 soit à résoudre dans   l'EDO :  
SOLUTION : Divisons l'EDO par   pour raison de normalisation
Intégrons membre à membre :
Du 2ème membre, posons  
En remplaçant toujours dans le 2ème
membre, on obtient :
Or   , alors
A. 1 EQUATION A COEFFICEINTS CONSTANTS
On se place dans le cas où   est une constante et l'équation   devient :
RESOLUTION :  
En intégrant membre à membre, on
obtient :
  les solutions de   .
Exemple 1. 1. 7 Soit à intégrer
dans  l'équation :
SOLUTION
Intégrons membre à membre :
Posons  
B. EQAUATION LINEAIRES AVEC SECOND MEMBRE
L'équation linéaire du premier ordre avec second
membre est de la forme :
SOLUTION posons   où   est la solution de l'équation   ici appelée équation associée à  
La fonction   est définie par
Ce changement de fonction revient à remplacer dans
l'expression   la constante   par une fonction variable   , d'où le nom de variation de constante donné
à cette méthode. Elle consiste à calculer la
dérivée de
  de la manière suivante :
En remplaçant dans   , on obtient :
Puisque   est la solution de l'équation   ,il reste donc à considérer
Ou  
En intégrant membre à membre, on a :
où   est une solution particulière.
Ceci étant, la solution générale s'en
déduit en multipliant les deux membres par   , c'est-à-dire :
Or   au départ était   , d'où :
Exemple 1. 1. 8soit à intégrer
l'équation différentielle linéaire
SOLUTION
En effet, l'équation homogène associée
est :  
Séparons les variables :
Intégrons membre à membre :
  est la solution particulière de l'équation homogène
associée.
Utilisons la méthode de variation de constante pour
trouver la solution générale :
  équation donnée
  la solution de l'équation homogène associée.
Portons ces dernières dans l'équation
donnée :
Portons les valeurs de   dans la solution homogène, on a :
  Solution générale de l'équation donnée.
C. EQUATION LINEAIRE A COEFFICIENTS ET SECOND MEMBRE
CONSTANTS
Dans ce cas, l'équation   devient :
Où   et   sont deux nombres réels.
RESOLUTION : on peut dans ce cas séparer les
variables, en conservant le second membre :
Intégrons :  
Multiplions les deux membres par   pour trouver  
Exemple 1. 1. 9 Soit à intégrer
l'équation  
On peut écrire successivement
En intégrant, on obtient :
D'où,  
Et enfin   en posant  
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