Définition 1. 1. 7 [9]
une équation différentielle du deuxième ordre est de la
forme :
Il y a deux classes principales d'équations
différentielles du second ordre :
1. Equations incomplètes (se ramenant au premier
ordre) ;
2. Equations linéaires.
Exemples 1. 1. 10
a. est une EDO du second ordre incomplète ;
b. est un EDO linéaire du second ordre.
EQUATION LINEAIRES DU SECOND ORDRE 1. 1. 2. 1. [2]
Définition 1. 1. 8 on appelle équation
linéaire du second ordre, toute équation de la forme :
Où et sont des fonctions continues sur l'intervalle I.
Lorsque dans l'équation est nulle, alors l'équation se nomme : équation sans
second membre ou EDO linéaire homogène associée et
s'écrit sous la forme :
Théorème 1. 1. 1La solution
générale de l'équation est la somme d'une solution particulière de cette
équation et de la solution générale de l'équation
homogène.
Preuve : soit solution de l'équation complète. Posons .
une la solution particulière et montrons que est une solution de l'équation homogène ; pour y
arriver, cherchons les dérivées premières et secondes
de
Portons les dérivées et dans l'équation complète
Donc est une solution de l'équation homogène .
EDO LINEAIRES HOMOGENES A COEFFICIENTS CONSTANT 1. 1. 2. 2.
[1]
Définition 1. 1. 9 Une EDO linéaire
homogène du second ordre est dite à coefficients constants si
elle est de la forme :
Où sont des réels.
Intégrer l'équation , c'est chercher s'il existe des intégrales de la forme étant constant ; nous avons :
En portant dans l'équation , nous obtenons en divisant par l'équation du second degré en
Appelée équation caractéristique de
l'équation
D'où, pour cette dernière, trois cas sont
possibles :
1. Si , l'équation admet deux solutions distinctes et , les fonctions sont deux intégrales dont le rapport n'est pas constant.
Les intégrales sont de la forme :
Où et sont deux constantes arbitraires.
2. Si , l'équation admet une racine réelle double
Les intégrales sont de la forme :
3. Si , alors l'équation admet deux racines complexes
et
Les intégrales sont de la forme :
Exemples 1. 1. 11Soit à intégrer les
EDO linéaires suivantes :
a.
b.
c.
SOLUTIONS
a. L'équation caractéristique est
L'équation caractéristique admet deux racines
réelles :
et . Les intégrales de l'EDO sont de la forme :
b. l'équation caractéristique est
L'équation caractéristique admet un racine réelle
double.
"La première panacée d'une nation mal gouvernée est l'inflation monétaire, la seconde, c'est la guerre. Tous deux apportent une prospérité temporaire, tous deux apportent une ruine permanente. Mais tous deux sont le refuge des opportunistes politiques et économiques"Hemingway
a. 
est une EDO du second ordre incomplète ;
b. 
est un EDO linéaire du second ordre.
et 
sont des fonctions continues sur l'intervalle I.
dans l'équation 
est nulle, alors l'équation se nomme : équation sans
second membre ou EDO linéaire homogène associée et
s'écrit sous la forme :
est la somme d'une solution particulière de cette
équation et de la solution générale de l'équation
homogène.
solution de l'équation complète. Posons 
.
une la solution particulière et montrons que 
est une solution de l'équation homogène ; pour y
arriver, cherchons les dérivées premières et secondes
de
et 
dans l'équation complète 
est une solution de l'équation homogène 
.
sont des réels.
, c'est chercher s'il existe des intégrales de la forme 
étant constant ; nous avons :
dans l'équation 
, nous obtenons en divisant par
l'équation du second degré en 
, l'équation 
admet deux solutions distinctes 
et 
, les fonctions 
sont deux intégrales dont le rapport 
n'est pas constant.
et 
sont deux constantes arbitraires.
, l'équation 
admet une racine réelle double 
, alors l'équation
admet deux racines complexes
et 
a. 
b. 
c. 
a. 
L'équation caractéristique est 
L'équation caractéristique admet deux racines
réelles :
et 
. Les intégrales de l'EDO sont de la forme :
b. 
l'équation caractéristique est 
L'équation caractéristique admet un racine réelle
double.
c. 
a pour équation caractéristique 
L'équation admet deux racines complexes :
et 
