Définition 1. 1. 7 [9]
une équation différentielle du deuxième ordre est de la
forme :
Il y a deux classes principales d'équations
différentielles du second ordre :
1. Equations incomplètes (se ramenant au premier
ordre) ;
2. Equations linéaires.
Exemples 1. 1. 10
a. est une EDO du second ordre incomplète ;
b. est un EDO linéaire du second ordre.
EQUATION LINEAIRES DU SECOND ORDRE 1. 1. 2. 1. [2]
Définition 1. 1. 8 on appelle équation
linéaire du second ordre, toute équation de la forme :
Où et sont des fonctions continues sur l'intervalle I.
Lorsque dans l'équation est nulle, alors l'équation se nomme : équation sans
second membre ou EDO linéaire homogène associée et
s'écrit sous la forme :
Théorème 1. 1. 1La solution
générale de l'équation est la somme d'une solution particulière de cette
équation et de la solution générale de l'équation
homogène.
Preuve : soit solution de l'équation complète. Posons .
une la solution particulière et montrons que est une solution de l'équation homogène ; pour y
arriver, cherchons les dérivées premières et secondes
de
Portons les dérivées et dans l'équation complète
Donc est une solution de l'équation homogène .
EDO LINEAIRES HOMOGENES A COEFFICIENTS CONSTANT 1. 1. 2. 2.
[1]
Définition 1. 1. 9 Une EDO linéaire
homogène du second ordre est dite à coefficients constants si
elle est de la forme :
Où sont des réels.
Intégrer l'équation , c'est chercher s'il existe des intégrales de la forme étant constant ; nous avons :
En portant dans l'équation , nous obtenons en divisant par l'équation du second degré en
Appelée équation caractéristique de
l'équation
D'où, pour cette dernière, trois cas sont
possibles :
1. Si , l'équation admet deux solutions distinctes et , les fonctions sont deux intégrales dont le rapport n'est pas constant.
Les intégrales sont de la forme :
Où et sont deux constantes arbitraires.
2. Si , l'équation admet une racine réelle double
Les intégrales sont de la forme :
3. Si , alors l'équation admet deux racines complexes
et
Les intégrales sont de la forme :
Exemples 1. 1. 11Soit à intégrer les
EDO linéaires suivantes :
a.
b.
c.
SOLUTIONS
a. L'équation caractéristique est
L'équation caractéristique admet deux racines
réelles :
et . Les intégrales de l'EDO sont de la forme :
b. l'équation caractéristique est
L'équation caractéristique admet un racine réelle
double.
a. 
est une EDO du second ordre incomplète ;
b. 
est un EDO linéaire du second ordre.
et 
sont des fonctions continues sur l'intervalle I.
dans l'équation 
est nulle, alors l'équation se nomme : équation sans
second membre ou EDO linéaire homogène associée et
s'écrit sous la forme :
est la somme d'une solution particulière de cette
équation et de la solution générale de l'équation
homogène.
solution de l'équation complète. Posons 
.
une la solution particulière et montrons que 
est une solution de l'équation homogène ; pour y
arriver, cherchons les dérivées premières et secondes
de
et 
dans l'équation complète 
est une solution de l'équation homogène 
.
sont des réels.
, c'est chercher s'il existe des intégrales de la forme 
étant constant ; nous avons :
dans l'équation 
, nous obtenons en divisant par
l'équation du second degré en 
, l'équation 
admet deux solutions distinctes 
et 
, les fonctions 
sont deux intégrales dont le rapport 
n'est pas constant.
et 
sont deux constantes arbitraires.
, l'équation 
admet une racine réelle double 
, alors l'équation
admet deux racines complexes
et 
a. 
b. 
c. 
a. 
L'équation caractéristique est 
L'équation caractéristique admet deux racines
réelles :
et 
. Les intégrales de l'EDO sont de la forme :
b. 
l'équation caractéristique est 
L'équation caractéristique admet un racine réelle
double.
c. 
a pour équation caractéristique 
L'équation admet deux racines complexes :
et 
