Application de série de fourier à l'intégration de quelques EDP linéaires du second ordre

EDO LINEAIRES NON HOMOGENES A COEFFICIENTS CONSTANTS : 1. 1. 2. 3. [1]

Soit l'équation

.

La solution générale de cette équation est une combinaison linéaire de la solution de l'équation homogène associée à et d'une solution particulière.

Cette solution particulière se détermine facilement par la méthode des coefficients indéterminés dans les cas simples suivants :

1°. où est un polynôme de degré

Ø Si n'est pas une racine de l'équation caractéristique, alors on pose :

, où est un polynôme à déterminer ;

Ø Si est une racine d'ordre « n » de l'équation caractéristique, on pose :

).

2°.

Ø Si n'est pas racine de l'équation caractéristique, alors on pose :

où et sont des polynômes de degré .

Ø Si est une solution de l'équation caractéristique, alors on pose :

Exemple 1. 1. 12Soit à intégrer l'EDO linéaire :

RESOLUTION : l'équation homogène associée est

Son équation caractéristique est :

Alors,

est la solution générale de l'équation homogène.

Cherchons maintenant la solution particulière .

Posons ceci implique

Portons dans l'équation initiale :

Connaissant la valeur de

Pour trouver la solution générale, nous prenons :

La solution particulière :

D'où, la solution générale est