Application de série de fourier à l'intégration de quelques EDP linéaires du second ordre

2. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES

Définition 1.2.1 [5] une équation aux dérivées partielles (EDP) est une équation fonctionnelle qui met en relations les dérivées partielles.

Typiquement, si est une fonction à valeurs scalaires des variables où désigne un ouvert de une EDP est une relation de la forme :

Pour

Où désigne une fonction définie sur un ouvert de

I.2. 1 DEFINITION DES CONCEPTS DE BASE [10]

Définition 1. 2. 2 L'ordre d'une équation aux dérivées partielles est le plus haut degré de dérivation présent dans l'équation

Définition 1. 2. 3La dimension d'une équation aux dérivées partielles est le nombre de variables indépendantes dont dépend la fonction inconnue de .

Définition 1. 2. 4Résoudre une EDP consiste donc à déterminer toutes les fonctions définies sur le domaine satisfaisant l'équation

Exemple 1. 2. 1 Soit l'équation :

Est une EDP du second ordre et de dimension

Les fonctions et sont toutes des solutions de l'équation donnée dans l'exemple 1.2.1

Exemple 1. 2. 2 Soit l'EDP :

C'est une équation est une EDP du premier ordre et de dimension deux (2).

Définition : 1. 2. 5. Une équation aux dérivées partielles est du premier ordre si elle est de la forme :

Où est une fon,ction de plusieurs variables indépendantes et des dérivées particulières du premier ordre :

Exemple 1. 2. 3

Est une EDP de transport.

2. 2 EDP LINEAIRES DU SECOND ORDRE [5]

Définition 1. 2. 6 Une équation aux dérivées partielles est linéaire par rapport à la fonction inconnue et ses dérivées partielles. On peut l'écrire sous la forme :

: est l'opérateur (application) linéaire aux dérivées partielles associé à une EDP.

Définition 1. 2. 7 On dit qu'une équation aux dérivées partielles du second ordre est linéaire si la dépendance par rapport à la fonction inconnue et ses dérivées partielles est linéaire :

Remarque 1. 2. 1 Si , alors l'équation est dite homogène.

Définition 1. 2. 8 On dit qu'une EDP est semi-linéaire si la dépendance par rapport aux dérivées partielles d'ordre le plus élevé est linéaire, c'est-à-dire :

Définition 1. 2. 9 On dit qu'une EDP est quasi-linéaire si elle est de la forme :

Définition 1. 2. 1 On dit qu'une EDP est complétement non-linéaire si elle dépend non-linéairement de ses termes d'ordre le plus élevé.

Exemple 1. 2. 4 Soit à montre la linéarité de l'EDP

On sait que

Donc, l'équation de l'exemple 1. 2. 1. Est linéaire. Elle est du second ordre, de dimension 2 et homogène.

Théorème 1. 2. 1

1. Si la fonction est une solution de l'équation , et solution de l'équation homogène associée, alors est solution de .

2. Si est solution de et solution de alors est solution de

Preuve :

1. Comme et

Donc : car la linéarité de .

Alors est solution de .

2. Nous savons que et que

Par conséquent,

Nous avons donc est solution de .?

Théorème 1. 2. 2La solution générale d'une équation différentielle linéaire d'ordre dépend linéairement de fonctions arbitraires.

Exemple 1. 2. 5 Soit l'EDP linéaire homogène :

En intégrant par rapport à y, on obtient :

En intégrant par rapport à x et en notant un primitive de la fonction arbitraire on obtient :

les fonctions sont deux fonction quelconques.