Application de série de fourier à l'intégration de quelques EDP linéaires du second ordre

2. 3CLASSIFICATION DES EDP DANS

Définition 1. 2. 11 [11] On appelle généralement équation aux dérivées partielles linéaires d'ordre inférieur ou égal à deux (2) dans un domaine ?? et d'inconnue une équation du type :

Par convention, on supposera que avec la matrice

symétrique de coefficients devant les termes d'ordre 2.

Soit

Où sont des fonctions de qui ne s'annulent pas simultanément .

Nous supposerons aussi que sont toutes au moins des dérivées d'ordre continues sur le domaine du plan (x, y).

D'où, de l'équation , on chercher des valeurs propres de la matrice et de l'équation on cherchera le discriminant pour déterminer de quel type d'EDP linéaire du second ordre il s'agit.

Pour toutes ces deux formes et d'équation aux dérivées partielles, il existe trois (3) types d'EDP linéaire du second ordre :

EDP du type hyperbolique, du type parabolique et du type elliptique.

Remarque 1. 2. 2 Suite à la définition 1. 2. 11, avant la matrice est définie sous cette forme :

Alors, le polynôme caractéristique de cette matrice :

Donc, il y a deux valeurs propres avec

1. EDP DU TYPE HYPERBOLIQUE

Définition 1. 2. 12 Soit l'équation telle que ou dans un domaine .

Lorsque

Ou , elle est dite du type hyperbolique dans ce domaine.

Remarque 1. 2. 3  : on dit qu'une équation est du type hyperbolique si les valeurs propres sont non nulles et de même signe sauf une, alors

et ce qui donne

Exemple 1. 2. 6 (EDP des ondes) soit une fonction des variables d'espace et du temps , définie sur un domaine et pour positif.

L'équation des ondes pour la fonction s'écrit :

Par identification,

L'EDP des ondes est donc du type hyperbolique.

1. EDP DU TYPE PARABOLIQUE

Définition 1. 2. 13 Soit l'EDP telle que ou dans un domaine Lors que

Elle est dite parabolique dans ce domaine.

Remarque 1. 2. 4 On dit que l'EDP est du type parabolique en si admet valeurs propres de même signe et une valeur propre nulle.

Ou encore

Exemple 1. 2. 7 (EDP de la chaleur). Soit des variables d'espace et du temps définie sur un domaine de et pour positif.

L'équation de la chaleur pour la fonction s'écrit :

avec donné.

par identification.

L'équation de la chaleur est donc du type parabolique.

1. EDP DU TYPE ELLIPTIQUE

Définition 1. 2.14 Soit l'EDP telle que ou dans un domaine

Lors que

Elle est dite du type elliptique dans ce domaine.

Remarque 1.2.5Une EDP est du type elliptique en si la matrice signe :

Exemple 1. 2. 8 (EDP de Laplace) soit une fonction définie sur un domaine et vérifiant dans ce domaine l'équation de Laplace :

ou

par identification

L'équation de Laplace est donc du type elliptique.