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Utilisation rationnelle des Collateralised Debt Obligation (CDO)

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par Inza DOSSO
Université Laval - Québec - Canada - MBA Finance 2008
  

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1.1.1 Copules et dépendances

Une copule est une fonction de répartition multivariée C définie sur l'hypercube

0;11n et dont les marginales sont uniformes sur 0;1 . Le théorème de SKlar (1959) dit

que « si F est une fonction de répartition n-dimensionnelle avec des
marginales F1,...,Fn , alors il existe une n-copule C telle que pour tout x de Rn ,

F(x1,...,;)= C[F(x1),...,Fn(xn)1 ». Ainsi, si ( X1, ...Xn ) est un vecteur de variables
aléatoires continues admettant F1,...,Fn comme fonctions de répartition marginales et F

comme fonction de répartition jointe, alors il existe une copule C qui vérifie la relation
précédente. Si les marginales F1,...,Fn sont continues, alors C est unique, autrement C

est uniquement déterminée sur Im(F1)*...* Im(Fn ) , avec Im(X) représentant l'ensemble des valeurs prises par X.

On s'aperçoit donc qu'une copule permet d'exprimer une fonction de répartition multivariée selon ses marginales et que cette copule résume toute la structure de dépendance. De fait, les copules présentent de nombreux avantages pour modéliser la dépendance entre risques. D'une part, elles permettent de décrire le comportement individuel de chaque risque et « couplent » les lois marginales pour obtenir la loi jointe. D'autres part, elles offrent une représentation fonctionnelle de la dépendance qui donne une description très complète de la forme de cette dernière.

Il est important de rappeler que la dépendance et la corrélation sont des notions
différentes. En effet, on a X et Y indépendantes X et Y non corrélées ou

(X, Y) = 0 9mais la réciproque est fausse sauf dans le cas où les variables sont gaussiennes car la dépendance est alors entièrement caractérisée par le coefficient de corrélation. Bien qu'il soit facile à calculer et fréquemment présent dans les travaux actuariels, en assurance comme en finance, le coefficient de corrélation doit être

n

(Xt -- X)(Yt --Y)

9 P(X ,Y)= t=1 où X et Y sont les variables (actifs à comparer)

n n

(Xt-X)2* E(Yt-Y)2

t1 t1

utilisée avec précaution car il n'est pertinent qu'en présence de distributions elliptiques (distribution multivariée Normale ou de Student) ou de dépendance linéaire. Les erreurs d'interprétation et limites liées à son utilisation sont discutées dans Embrechts et al. [1999] et surtout sur le marché du crédit.

Bien que les copules puissent fournir une approche assez intéressante au marché de crédit, la première décision à prendre est relative à la sélection de la copule qui sied le mieux à nos données. Cela est dû au fait qu'il en existe différents types, avec des caractéristiques différentes (copules archimédiennes : gaussienne et de Student dites copules elliptiques qui ont l'avantage de décrire des structures de dépendance très diverses dont celles dites asymétriques, où les coefficients de queue inférieure et supérieure diffèrent, copules HRT, copules empiriques). En outre, chaque copule aura des paramètres qui modifient la relation entre les variables. Ces paramètres peuvent être difficiles à calibrer lorsqu'il y a très peu de données ou d'informations de marché fiables comme c'est le cas du marché des CDO.

Ces dernières années, le marché standard des « CreditMetrics », pour l'évaluation et la modélisation de la corrélation des portefeuilles de crédits des tranches de CDO (DJ Tranched TRAC-X), a été décrit comme la copule gaussienne. En effet, une copule gaussienne définie la relation de dépendance entre les rendements des actifs dans un portefeuille de crédit comme multivariée normale. En outre, cette relation jointe, normalement distribuée, est indépendante de la distribution réelle des rendements des actifs pris individuellement. Il a été grossièrement supposé, dans les modélisations, que les distributions des rendements marginales sont normales. Pourtant, en pratique, il est possible d'avoir des variables aléatoires avec des distributions marginales non normales (Student-t par exemple) et puis utiliser une copule gaussienne pour définir la relation entre ces deux variables.

Dans le but de mieux appréhender cette notion de distribution jointe, le moyen le plus simple est de considérer deux variables (actifs). Ensuite, il faut construire le diagramme de dispersion des deux variables et observer la forme du nuage de points

JPMorgan -- Credit Derivatives Strategy -- March 2°°4

résultant. En général, si le nuage de points a une forme elliptique comme la figure 4, alors les variables ont une distribution jointe normale et il est donc possible d'utiliser la corrélation comme une mesure de dépendance entre les deux variables. Lorsque la corrélation entre les deux variables augmente, les points vont converger et devenir comme une ligne (cf. figure 6). Cependant, lorsque la forme est significativement différente d'une ellipse, précisément avec une concentration des points dans un endroit, alors, il n'est pas prudent d'utiliser un simple nombre de corrélation.

Figure 5 : Joint normal scatter, corrélation=80%

Figure 6: Joint normal scatter,

corrélation=95%

Source: JPMorgan.

Considérons maintenant une distribution jointe qui n'est pas normale telle des probabilités de défaut de crédit jointes. La figure 7 montre la même distribution normale jointe que précédemment, avec une corrélation de 80%. La figure 8, a aussi une corrélation de 80% mais une distribution qui est plus typique au crédit. A première vue, il est clair que la relation entre les deux variables est différente. En observant l'extrémité supérieure droite de la figure 8, on remarque qu'il y a une forte concentration de points pour les valeurs les plus élevées. Cependant, il y a une plus grande dispersion des points sur cette figure que sur la figure 7. Le type de relation illustré au niveau de la figure 8 correspond à une évidence que les corrélations de défaut entre les actifs est faible dans un environnement de marché normal. Cependant, lorsque la probabilité de défaut augmente pour un actif, alors, ce fait augmente celle des autres comme dans le cas des récessions.

Figure 7: Joint normal scatter,

correlation=80%

Figure 8 : Joint normal scatter, correlation=80%

Source: JPMorgan.

Ainsi, pour toute analyse d'indépendance sur le marché du crédit, il importe de savoir exactement, de prime abord, les variables sous-jacentes qui sont analysées. Ensuite, le comportement de la relation doit être comprise avant d'utiliser la corrélation linéaire comme mesure de dépendance. En effet, il existe une confusion entre la corrélation des défauts et la corrélation des rendements d'actifs. Cette confusion augmente parce qu'alors qu'un facteur important dans l'évaluation des tranches de crédit est la corrélation des défauts, le facteur requis pour les modèles tels que « CreditMetrics » est la corrélation des rendements d'actifs. La corrélation des rendements peut donc être convertie en corrélation de défaut au sein des modèles. La corrélation de défaut est plus utilisée au niveau des crédits (tranches de CDO par exemple) en raison de son impact direct sur l'évaluation des produits dérivés complexes.

Cette analyse de la mesure du marché nous amène à nous pencher sur le lieu d'émission et de placement d'un CDO. Ce qui fait référence aux différents segments du marché.

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