Calcul de la fluctuation du nombre moyen de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait quantique en utilisant la distribution grand canonique de Gibbs

I.2.2. Fluctuation

On appelle fluctuation d'une grandeur, caractérisant le système, l'écart de la valeur réelle de sa valeur moyenne conditionné par l'agitation thermique chaotique des particules du système. Le carré moyen de la différence , appelé fluctuation quadratique, représente la mesure de la fluctuation : [3].

On peut calculer la fluctuation d'une grandeur qui varie en oscillant autour de sa valeur moyenne dans le temps comme suit :

Considérons une grandeur quelconque se rapportant à un certain corps macroscopique ou à une de ses parties.

Dans le temps, cette grandeur varie en oscillant autour de sa valeur moyenne : la valeur moyenne de la différence, où est la largeur de l'intervalle de cette variation.

la valeur moyenne, ne peut être prise pour une telle caractéristique, car la grandeur s'écarte de sa valeur moyenne, tant d'un côté que l'autre, c'est-à-dire tantôt en haut, tantôt en bas de cette valeur moyenne, et la valeur moyenne da la différence qui est tantôt positive, tantôt négative se trouve être nulle, quel que soit le nombre des écarts notables de à sa valeur moyenne.

Il est commode de prendre pour la caractéristique cherchée la valeur moyenne du carré de cette différence. La grandeur étant toujours positive, sa valeur moyenne ne tend pas vers zéro, en d'autres termes elle se trouve être petite seulement si des écarts notables de à sont peu probables.

La grandeur (1.4)

est appelée écart quadratique moyen de la grandeurou fluctuation de [6].

Remarquons que :

Mais (1.5)

C'est-à-dire que la fluctuation est déterminée par la différence entre le carré moyen de la grandeur et le carré de sa valeur moyenne.

Le rapport est appelé fluctuation relative de la grandeur f.