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La régularité lipshtzienne des courbes minimisantes pour un problème de contrôle optimale géométrique

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par Nedjoua Driai
Université de Sétif - Algerie - magister 2005
  

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École Doctorale IAEM Nancy-Université, Université Henri Poincaré

Mémoire présenté en vue d'obtenir le diplôme
d'HABILITATION À DIRIGER DES RECHERCHES
Spécialité : Mathématiques.

CONTROLE DE sysTEMEs MfcANiQuEs ET QuANTiQuEs
pAR DEs MfTHODEs GfoMfTRiQuEs

Mario SIGALOTTI

Rapporteurs : Pierre ROUCHON

Emmanuel TRÉLAT Enrique ZUAZUA

Soutenue le 5 février 2010 devant le Jury composé de

Jean-Michel CORON Frédéric JEAN

Jean-Paul GAUTHIER Emmanuel TRÉLAT Marius TUCSNAK

Man sieht diese Hunde nicht, aber man hört sie.
Mir machen diese Hunde Angst.
Angst ist vielleicht nicht der richtige Ausdruck,
sie bringen den Menschen um.
Diese Hunde bringen alles um.

Thomas Bernhard, Frost

Remerciements

Tirer un bilan des activités scientifiques qui m'ont occupé après ma thèse signifie en premier lieu remercier un certain nombre de personnes qui m'ont grandement aidé pendant ces dernières années.

D'abord, je tiens à remercier Marius Tucsnak pour m'avoir si chaleureusement accueilli au sein de son équipe, pour ses encouragement et son soutien dans la prise de responsabilités et pour avoir été une source continue de conseils et intuitions mathématiques. Je lui suis reconnaissant aussi pour avoir toujours su rendre paisibles ces années de travail à Nancy par son naturel contagieusement joyaux. C'est sans oublier la gratitude que je lui dois pour avoir accepté de faire partie de mon jury.

Un très grand merci va à mes amis-collaborateurs Ugo Boscain et Yacine Chitour, sans lesquels je n'aurais probablement pas su me résoudre à m'engager dans le parcours exigeant de la recherche : je voudrais toutefois les décharger formellement de toute responsabilité quant au résultat de leur soutien amical...

Je voudrais remercier Pierre Rouchon et Emmanuel Trélat pour m'avoir honoré d'être rapporteurs de cette thèse d'habilitation et pour avoir accepté de faire partie de ce jury. Enrique Zuazua a aussi accepté d'être rapporteur et je lui en suis vivement reconnaissant.

Je voudrais exprimer toute ma gratitude à Jean-Michel Coron, Frédéric Jean et Jean-Paul Gauthier pour avoir accepté de faire partie de ce jury. Leur présence m'honore et est un grand plaisir.

Je remercie chaleureusement Andrei Agrachev, à qui je dois scientifiquement tellement du peu que j'ai pu atteindre, pour avoir accepté de faire partie de ce jury, avant qu'un empêchement nous prive du plaisir de sa présence ici aujourd'hui.

Les résultats présentés dans les pages qui suivent, ainsi que ceux qui ont occupé les mois qui se sont écoulés depuis le commencement de la rédaction de cette thèse d'habilitation, sont le fruit de la collaboration avec des nombreux amis et collègues que je tiens à remercier vivement : merci à María Barbero-Liñán, Grégoire Charlot, Thomas Chambrion, Jamal Daafouz, Roberta Ghezzi, Paolo Mason, Yannick Privat, Ulysse Serres, François Alouges, Karine Beauchard, Alexandre Bombrun, Antoine Chaillet, Martin Gugat, Fouad El Hachemi, Falk Hante, Antonio Loría, Jean-Baptiste Pomet, Pierre Riedinger, Dominique Sugny et Jean-Claude Vivalda.

Je voudrais aussi exprimer ma gratitude aux coéquipiers de MIAOU, APICS et CORIDA et en particulier à Bilal Atfeh, Juliette Leblond, Karim Ramdani et Takéo Takahashi, pour leur écoute et soutien, avec une mention particulière pour Bilal et Takéo, qui m'ont eu comme copain de bureau et qui ont su stoïquement endurer mon désordre débordant.

Pour terminer, je ne peux pas manquer de remercier ceux qui, de manière directe ou indirecte, ont rendu possibles les travaux présentés ici : ma famille chérie, bien sûr, ainsi que les amis de Nancy, Nice, Udine ou ailleurs, et en particulier Natasha, Marco, Ilaria, Francesca, Laura, Maurizio, Assia, Marius, Guillaume, Camille et Justine. Merci.

Table des matières

1

2

Travaux de recherche 8

Introduction 11

Commandabilité et commande des systèmes non linéaires de dimension finie 15
1.1 Problème de Dubins sur des surfaces à courbure négative [MS.10] 15

1.2 Suivi de trajectoire pour un sous-marin dont le mouvement est régi par les lois

de Kirchhoff [MS.7] 17

1.3 Propriétés de commandabilité d'une classe de systèmes modélisant la nage de

micro-organismes [MS.3] 19

Contrôle quantique et propriétés génériques de l'équation de Schrödinger 23

 

2.1

Commandabilité de l'équation de Schrödinger bilinéaire à spectre discret [MS.5] .

23

 

2.2

Commandabilité de la rotation d'une molécule quantique [MS.20]

26

 

2.3

Généricité des propriétés des fonctions et valeurs propres de l'équation de Laplace-

 
 
 

Dirichlet [MS.4]

27

 

2.4

Généricité par rapport aux potentiels de la commandabilité de l'équation de Schrö-

 
 
 

dinger bilinéaire à spectre discret [MS.1]

29

3

Stabilité et stabilisation des systèmes hybrides

33

 

3.1

Stabilité des systèmes à commutations non linéaires sur le plan [MS.9]

33

 

3.2

Systèmes soumis à une condition d'excitation persistante [MS.6,23]

35

 

3.3

Analyse de stabilité des systèmes linéaires à commutations à temps discret par le

 
 
 

biais de fonctions de Liapounov quadratiques [MS.27]

37

4

Géométrie presque riemannienne [MS.2,8,15]

39

 

Perspectives de recherche

47

Travaux de recherche

Résumé

Type de publication

#

Revues internationales

14

Revues nationales

4

Conférences internationales

16

Rapports de recherche soumis à publication

4

Articles parus dans des revues internationales avec comité de lecture

[MS.1] P. MASON ET M. S., Generic controllability properties for the bilinear Schrödinger equation, Communications in Partial Differential Equations, à paraître.

[MS.2] A. A. AGRAcHEV, U. BOScAIN, G. CHARLOT, R. GHEZZI ET M. S., Two-dimensional almost-Riemannian structures with tangency points, Annales de l'Institut Henri Poincaré (C) Analyse Non Linéaire, à paraître.

[MS.3] M. S. ET J.-C. VIVALDA, Controllability properties of a class of systems modeling swimming microscopic organisms, ESAIM : Control, Optimisation and Calculus of Variations, à paraître.

[MS.4] Y. PRIVAT ET M. S., The squares of the Laplacian-Dirichlet eigenfunctions are generically linearly independent, ESAIM : Control, Optimisation and Calculus of Variations, à paraître.

[MS.5] T. CHAMBRION, P. MASON, M. S. ET U. BOScAIN, Controllability of the discrete-spectrum Schrödinger equation driven by an external field, Annales de l'Institut Henri Poincaré (C) Analyse Non Linéaire, 26 (2009), pages 329-349.

[MS.6] A. CHAILLET, Y. CHITOUR, A. LORIA ET M. S., Uniform stabilization for linear systems with persistency of excitation. The neutrally stable and the double integrator cases, Mathematics of Control, Signals, and Systems, 20 (2008), pages 135-156.

[MS.7] T. CHAMBRION ET M. S., Tracking control for an ellipsoidal submarine driven by Kir-
chhoff's laws, IEEE Transactions on Automatic Control, 53 (2008), pages 339349.

[MS.8] A. A. AGRAcHEV, U. BOScAIN ET M. S., A Gauss-Bonnet-like formula on two-dimensional almost-Riemannian manifolds, Discrete and Continuous Dynamical Systems Series A, 20 (2008), pages 801822.

[MS.9] U. BOScAIN, G. CHARLOT ET M. S., Stability of planar nonlinear switched systems, Discrete and Continuous Dynamical Systems Series A, 15 (2006), pages 415432.

[MS.10] M. S. ET Y. CHITOUR, Dubins' problem on surfaces II : Nonpositive curvature, SIAM Journal on Control and Optimization, 45 (2006), pages 457482.

[MS.11] Y. CHITOUR ET M. S., Dubins' problem on surfaces. I. Non-negative curvature, Journal of Geometrical Analysis, 15 (2005), pages 565587.

[MS.12] M. S., Local regularity of optimal trajectories for control problems with general boundary conditions, Journal of Dynamical and Control Systems, 11 (2005), pages 91-123.

[MS.13] A. A. AGRAcHEV ET M. S., On the local structure of control functions corresponding to time-optimal trajectories in R3, SIAM Journal on Control and Optimization, 42 (2003), pages 513-531.

[MS.14] G. ALESSANDRINI ET M. S., Geometric properties of solutions to the anisotropic p-Laplace equation in dimension two, Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ. Mathematica, 21 (2001), pages 249-266.

Articles parus dans des revues nationales

[MS.15] U. BOScAIN ET M. S., High-order angles in almost-Riemannian geometry, Actes de Séminaire de Théorie Spectrale et Géométrie, 25 (2008), pages 41-54.

[MS.16] A.A. AGRAcHEV, U. BOScAIN ET M. S., Two-dimensional almost-Riemannian manifolds, Lecture notes of Seminario Interdisciplinare di Matematica, 6 (2007), pages 17-31.

[MS.17] M. S., Regularity properties of optimal trajectories of single-input control systems in dimension three, Journal of Mathematical Sciences, 126 (2005), pages 1561-1573.

[MS.18] A. BRAIDES, M. S. GELLI ET M. S., The passage from non-convex discrete systems to variational problems in Sobolev spaces : the one-dimensional case, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 236 (2002), pages 395-414.

Articles pour des conférences internationales avec comité de lecture

[MS.19] F. ALOuGES, K. BEAucHARD ET M. S., Magnetization switching in small ferromagnetic ellipsoidal samples, Proceedings of the 48th IEEE Conference on Decision and Control, Shanghai, Chine, 2009.

[MS.20] U. V. BOScAIN, T. CHAMBRION, P. MASON, M. S. ET D. SuGNY, Controllability of the rotation of a quantum planar molecule, Proceedings of the 48th IEEE Conference on Decision and Control, Shanghai, Chine, 2009.

[MS.21] T. CHAMBRION ET M. S., Simultaneous approximate tracking of density matrices for a system of Schrödinger equations, Proceedings of the 48th IEEE Conference on Decision and Control, Shanghai, Chine, 2009.

[MS.22] M. S., P. MASON, U. V. BOScAIN ET T. CHAMBRION, Generic controllability properties for the bilinear Schrödinger equation, Proceedings of the 48th IEEE Conference on Decision and Control, Shanghai, Chine, 2009.

[MS.23] Y. CHITOuR ET M. S., On the stabilization of permanently excited linear systems, Proceedings of the 48th IEEE Conference on Decision and Control, Shanghai, Chine, 2009.

[MS.24] A. A. AGRAcHEV, U. V. BOScAIN, G. CHARLOT, R. GHEZZI ET M. S., Two-dimensional almost-Riemannian structures with tangency points, Proceedings of the 48th IEEE Conference on Decision and Control, Shanghai, Chine, 2009.

[MS.25] P. RIEDINGER, M. S. ET J. DAAFOuZ, On the observability of the flying capacitor converter, Proceedings of the 10th European Control Conference, Budapest, Hongrie, 2009.

[MS.26] T. CHAMBRION, P. MASON, M. S. ET U. V. BOScAIN, Controllability properties of discrete-spectrum Schrödinger equations, Proceedings of the 47th IEEE Conference on Decision and Control, Cancun, Mexique, 2008.

[MS.27] P. MasoN, M. S. ET J. Daafouz, On stability analysis of linear discrete-time switched systems using quadratic Lyapunov functions, Proceedings of the 46th IEEE Conference on Decision and Control, Nouvelle Orléans, USA, 2007, pages. 5629-5633.

[MS.28] A. ChaillET, Y. ChiTour, A. Loria ET M. S., Towards uniform linear time-invariant stabilization of systems with persistency of excitation, Proceedings of the 46th IEEE Conference on Decision and Control, Nouvelle Orléans, USA, 2007, pages 6394-6399.

[MS.29] M. GugaT, M. S. ET M. TucsNak, Robustness analysis for the boundary control of the string equation, Proceedings of the 9th European Control Conference, Kos, Grèce, 2007.

[MS.30] T. ChambrioN ET M. S., Controllability and output tracking for an ellipsoidal submarine driven by Kirchhoff's laws, 32nd Annual Conference of the IEEE Industrial Electronics Society (IECON-2006), pages 567-572.

[MS.31] Y. ChiTour ET M. S., Controllability of the Dubins Problem on Surfaces, Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control, Séville, Espagne, 2005, pages 1439- 1444.

[MS.32] U. V. BoscaiN, G. CharloT ET M. S., Stability of Nonlinear Switched Systems on the Plane, Proceedings of the 44rd IEEE Conference on Decision and Control, Séville, Espagne, 2005, pages 3285-3290.

[MS.33] A. BombruN, J.-B. PomET ET M. S., Mechanical Systems and Rendez-Vous Controllability, Proceedings of the 44rd IEEE Conference on Decision and Control, Séville, Espagne, 2005, pages 8271-8275.

[MS.34] Y. ChiTour ET M. S., On the controllability of the Dubins' problem for surfaces, in Proceedings of SSSC04 - Second IFAC Symposium on System, Structure and Control, Oaxaca, Mexique, 2004, pages 614-616.

Rapports de recherche soumis à publication

[MS.35] Y. ChiTour ET M. S., On the stabilization of persistently excited linear systems.

[MS.36] P. RiEdiNgEr, M. S. ET J. Daafouz, On the characterization of invariant sets of switched linear systems.

[MS.37] M. GugaT ET M. S., Star-shaped string networks : Switching boundary feedback stabilization.

[MS.38] M. BarbEro-LiñáN ET M. S., High order sufficient conditions for tracking.

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La Quadrature du Net