§.3- La méthode de
Box et Jenkins
La méthodologie développée par Box et
Jenkins, publiée en 1976, est une technique qui permet de
déterminer le modèle le mieux adapté pour
représenter le processus générateur d'une chronique,
à partir des réalisations observées de ce processus. Cette
approche comporte trois étapes principales dont les grandes lignes sont
les suivantes :
1. Identification du processus
générateur : c'est l'étape la plus
délicate, puisqu'il s'agit de déterminer le modèle
adéquat dans la famille des modèles ARMA. Le principe est de
tracer les corrélogrammes simple (graphique des autocorrélations
 ) et partiel (graphique des autocorrélations partielles  ) et d'utiliser la règle de décision suivante :
Ø si les  tendent graduellement vers 0 et que les  sont nuls dès que le décalage dépasse
un ordre p, on peut alors pronostiquer un modèle
AR(p) ;
Ø si par contre les  tendent graduellement vers 0 et que les  sont nuls dès que le décalage dépasse
un ordre q, on peut alors pronostiquer un modèle
MA(q) ;
Ø lorsque les deux procédures
précédentes n'ont pas débouchées de façon
claire sur un AR ou un MA, il faut penser à un
modèle ARMA. Pour cela, une approche classique consiste en la
procédure suivante :
· estimer différents modèles ARMA
: ARMA(1,1), ARMA(1,2), ARMA(2,1),
ARMA(2,2) ;
· modéliser la chronique par un pseudo
AR(p) et les résidus obtenus par un
MA(q).
Le choix d'un modèle est dans ce cas basé sur le
principe de parcimonie : dans la classe des modèles acceptables, on
choisira celui qui fait intervenir le plus petit nombre de
paramètres.
2. Estimation des paramètres du processus
générateur : Cette étape consiste
en l'estimation par la méthode du maximum de vraisemblance ou par celle
des moindres carrés ordinaires, des paramètres du modèle
ARMA sélectionné à l'étape
précédente.
3. Validation du modèle retenu pour
représenter le processus générateur : il
s'agit ici de réaliser une analyse de diagnostic pour confirmer que le
modèle de représentation du processus générateur
est adéquat. En outre, l'étape 2 peut avoir conduit à
sélectionner plusieurs processus ARMA possibles ;
après avoir estimé les paramètres de ces différents
processus ARMA( p,q) , il faut alors les valider et
choisir celui qui s'ajuste le mieux à la série temporelle.
Cette validation consiste en un examen des coefficients
estimés (ils doivent tous être significativement différent
de 0 à un niveau de signification fixé à l'avance) et en
un examen des hypothèses sur les résidus (les résidus
estimés doivent suivre un processus de bruit blanc).
a) Test sur les coefficients
Parmi les processus ARMA( p,q) dont
les paramètres ont été estimés à
l'étape 3, on ne retient que ceux dont tous les coefficients sont
significatifs (pour un niveau de signification fixé à l'avance
et une taille d'échantillon suffisamment grande, la p-valeur,
calculée avec la statistique de Student doit être
inférieure à ).
b) Vérification des hypothèses sur les
résidus
Lorsque le processus ARMA( p,q) est
bien estimé à l'étape 3, les résidus doivent se
comporter comme un bruit blanc, c'est-à-dire que leur espérance
est nulle, leur autocorrélation est également nulle et leur
variance est homoscédastique (constante).
· Le test sur la nullité de l'espérance des
résidus consiste à confronter l'hypothèse
 contre  . La statistique de test est alors .
On rejette  si p-valeur =  est strictement inférieure à .
· Le test d'autocorrélation des résidus est
important parce que, lorsque le modèle ARMA(
p,q) a été bien spécifié à
l'étape 2 et bien estimé à l'étape 3, les
résidus ne doivent pas être corrélés. Il existe un
grand nombre de tests d'autocorrélation. Les plus connus sont ceux de
Durbin-Watson, de Box et Pierce (1970) et de Ljung- Box
(1978).
· Pour vérifier l'homoscédasticité
des résidus, il existe plusieurs tests possibles : test de Goldfeld
et Quandt, test de White, test de Breusch et Pagan et
test ARCH de Engle.
· Test de Normalité des résidus :
à l'étape 3, la procédure d'estimation des coefficients
suppose que les résidus sont gaussiens. Il est donc nécessaire de
vérifier qu'ils proviennent bien d'une loi normale. On peut utiliser
à cet effet des tests tels que le test d'adéquation du Chi-deux,
le test de Kolmogorov et le test de Jarque et Bera.
Toutefois, par l'inspection des corrélogramme simple et
partiel des résidus, il est possible d'affirmer si le modèle
choisi est correct ou non. Dans l'affirmative, les coefficients
d'autoccorrélation estimés doivent présenter le même
comportement que les coefficients d'autocorrélation d'un bruit blanc,
c'est-à-dire significativement nuls, oscillant autour de zéro.
Dans notre étude, nous utiliserons en plus de cet examen des
corrélogrammes des résidus, quelques tests pour valider le
modèle retenu.
Une fois le modèle validé, il sera possible de
réaliser des prévisions à court terme pour les recettes
issues du secteur de la santé.
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