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Analyse de l'évolution des recettes de services issues des secteurs Education et Santé au Cameroun de 2003 à  2008 et prévisions à  court terme

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par Hyacinthe KANKEU TCHEWONPI
Institut sous-régional de statistique et d'économie appliquée de Yaoundé - Ingénieur d'application de la statistique 2009
  

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§.3- La méthode de Box et Jenkins

La méthodologie développée par Box et Jenkins, publiée en 1976, est une technique qui permet de déterminer le modèle le mieux adapté pour représenter le processus générateur d'une chronique, à partir des réalisations observées de ce processus. Cette approche comporte trois étapes principales dont les grandes lignes sont les suivantes :

1. Identification du processus générateur : c'est l'étape la plus délicate, puisqu'il s'agit de déterminer le modèle adéquat dans la famille des modèles ARMA. Le principe est de tracer les corrélogrammes simple (graphique des autocorrélations ) et partiel (graphique des autocorrélations partielles ) et d'utiliser la règle de décision suivante :

Ø si les tendent graduellement vers 0 et que les sont nuls dès que le décalage dépasse un ordre p, on peut alors pronostiquer un modèle AR(p) ;

Ø si par contre les tendent graduellement vers 0 et que les sont nuls dès que le décalage dépasse un ordre q, on peut alors pronostiquer un modèle MA(q) ;

Ø lorsque les deux procédures précédentes n'ont pas débouchées de façon claire sur un AR ou un MA, il faut penser à un modèle ARMA. Pour cela, une approche classique consiste en la procédure suivante :

· estimer différents modèles ARMA : ARMA(1,1), ARMA(1,2), ARMA(2,1), ARMA(2,2) ;

· modéliser la chronique par un pseudo AR(p) et les résidus obtenus par un MA(q).

Le choix d'un modèle est dans ce cas basé sur le principe de parcimonie : dans la classe des modèles acceptables, on choisira celui qui fait intervenir le plus petit nombre de paramètres.

2. Estimation des paramètres du processus générateur : Cette étape consiste en l'estimation par la méthode du maximum de vraisemblance ou par celle des moindres carrés ordinaires, des paramètres du modèle ARMA sélectionné à l'étape précédente.

3. Validation du modèle retenu pour représenter le processus générateur : il s'agit ici de réaliser une analyse de diagnostic pour confirmer que le modèle de représentation du processus générateur est adéquat. En outre, l'étape 2 peut avoir conduit à sélectionner plusieurs processus ARMA possibles ; après avoir estimé les paramètres de ces différents processus ARMA( p,q) , il faut alors les valider et choisir celui qui s'ajuste le mieux à la série temporelle.

Cette validation consiste en un examen des coefficients estimés (ils doivent tous être significativement différent de 0 à un niveau de signification fixé à l'avance) et en un examen des hypothèses sur les résidus (les résidus estimés doivent suivre un processus de bruit blanc).

a) Test sur les coefficients

Parmi les processus ARMA( p,q) dont les paramètres ont été estimés à l'étape 3, on ne retient que ceux dont tous les coefficients sont significatifs (pour un niveau de signification fixé à l'avance et une taille d'échantillon suffisamment grande, la p-valeur, calculée avec la statistique de Student doit être inférieure à ).

b) Vérification des hypothèses sur les résidus

Lorsque le processus ARMA( p,q) est bien estimé à l'étape 3, les résidus doivent se comporter comme un bruit blanc, c'est-à-dire que leur espérance est nulle, leur autocorrélation est également nulle et leur variance est homoscédastique (constante).

· Le test sur la nullité de l'espérance des résidus consiste à confronter l'hypothèse

contre . La statistique de test est alors.

On rejette si p-valeur = est strictement inférieure à .

· Le test d'autocorrélation des résidus est important parce que, lorsque le modèle ARMA( p,q) a été bien spécifié à l'étape 2 et bien estimé à l'étape 3, les résidus ne doivent pas être corrélés. Il existe un grand nombre de tests d'autocorrélation. Les plus connus sont ceux de Durbin-Watson, de Box et Pierce (1970) et de Ljung- Box (1978).

· Pour vérifier l'homoscédasticité des résidus, il existe plusieurs tests possibles : test de Goldfeld et Quandt, test de White, test de Breusch et Pagan et test ARCH de Engle.

· Test de Normalité des résidus : à l'étape 3, la procédure d'estimation des coefficients suppose que les résidus sont gaussiens. Il est donc nécessaire de vérifier qu'ils proviennent bien d'une loi normale. On peut utiliser à cet effet des tests tels que le test d'adéquation du Chi-deux, le test de Kolmogorov et le test de Jarque et Bera.

Toutefois, par l'inspection des corrélogramme simple et partiel des résidus, il est possible d'affirmer si le modèle choisi est correct ou non. Dans l'affirmative, les coefficients d'autoccorrélation estimés doivent présenter le même comportement que les coefficients d'autocorrélation d'un bruit blanc, c'est-à-dire significativement nuls, oscillant autour de zéro. Dans notre étude, nous utiliserons en plus de cet examen des corrélogrammes des résidus, quelques tests pour valider le modèle retenu.

Une fois le modèle validé, il sera possible de réaliser des prévisions à court terme pour les recettes issues du secteur de la santé.

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