2.2 ModèLe à La suRFace
Dans cette partie, nous discutons d'une
propriété des interfaces entre un liquide et un gaz (air). Cette
interface joue un rôle très important dans l'équilibre et
l'écoulement des fluides, dès lors qu'ils ont des surfaces
libres et ne sont plus simplement en contact avec des parois
solides.
Sur la frontière s
représentant une surface libre perpendiculaire à la direction de
la gravité locale, nous avons l'équilibre local d'une colonne
d'eau au voisinage de cette surface (cf schéma ci-dessous).
En désignant par ?s la
frontière de s, et par ís
la normale unitaire sortante à s dans son plan le
long de ?s.
FiGuRe 2.2 - Equilibre d'une colonne d'eau à la
surface.
Nous notons par ç le déplacement normal
à s compté positivement suivant la normale
sortante à Ù.
Et nous désignons par:
1. p la pression du fluide qui est en dessous du milieu
considéré,
2. ó la constante de capillarité,
3. g l'accélération de la pesanteur .
L'équation d'équilibre local d'une colonne d'eau
d'épaisseur 2e soumise à la pression
atmosphérique P0 constante, à la pression de fluide et
à la tension capillaire de la surface s'écrit :
2åñ[?2ç
(2.13)
?t2 + . . .] = -P0 + p -
ñgç + ó ?
?s(?ç ?s ).
La pression du fluide p est définie par la
relation de Bernouilli :
après développement du terme :
(Vö)2 = (V?0 +
V?)2 = |V?0|2 + 2V?0
· V? + |V?|2, et comme :
?ö
ñe ?t
= (ñ0 + ñ) ?
?t(?0 + ?) = ñ0 ?? ?t ,
on obtient après substitution dans (2.14), l'expression
linéairisée de la pression :
|
??
p = -ñ0 ?t
|
ñ0V?0
· V? -
ñ02 |V?0|2. (2.15)
|
Et l'equation traduisant l'équilibre de la surface libre
devient (après avoir remplacer p par son expression
trouvée précédemment) :
?2ç ??
2åñ0 - MO +
poo + po at + povspo
·
vsp =-ñ0 | v ?0
|2.
?t2 2
En résumé : Sur la
frontière I's, le mouvement de la surface libre est
décrit par l'équation :
ate ??
2åñ0 ' MO + poo
+ po at + povspo
·
vsp = ñ0 |vs?0|2.
at2 2
(2.16)
2.3 TRAITEMENT DES CONDITIONS LIMITES AUX BORDS
Le traitement des conditions aux limites est la principale
difficulté dans les codes de calcul.
Un mauvais traitement de ces conditions limites peut mener
à des instabilités numériques causées par le
traitement des bords. Afin d'obtenir des résultats gouvernés par
la physique et non par les instabilités numériques, il est donc
important de recourir à une méthode de traitement des conditions
aux limites éfficaces.
Sur la surface libre I's
La condition aux limites qu'il faut adopter à
l'interface entre l'eau et l'air doit être formulée dans la
configuration physique instantanée en représentation eulerienne
et ensuite ramenée sur une configuration de référence
(représentation de Lagrange).
Pour cela, nous désignons par
í0 la normale à la frontière
déformée I's . Elle est différente de la
normale í dans le cas d'une rotation de la surface libre, ce
qui est le cas pour une vague.
Et le couplage entre la rotation de í et le
déplacement d'un point géométrique de la surface libre
notée ç conduit à des forces gyroscopiques.
Et un simple calcul de géométrie
différentielle permet d'exprimer au pre-
mier ordre la normale
í0 à la surface déformée en
fonction de í et Vsç :
í 0 = í -
Vsç
ou Vs est le
gradient surfacique, c'est-à-dire par rapport aux coordonnées
0
variants sur la frontière s. De ce
fait, la normale ín'est plus unitaire. Par ailleurs, la
continuité géométrique des déplacements à la
traversée de la surface s déformée
s'écrit donc au premier ordre :
?ç (vs(? +
?0) - ?t í)
· í0 =
0,
et
?ç
(rs? + rs?0 - ?t
í)
· (í - Vsç) = 0,
ce qui donne après développement
?ç ?ç ?ç
rs?
· í +
rs?0
· í - ?t -
rs?
· rsç
- rs?0
· rsç +
?t
· = 0,
?s
??0
et puisque : (s) = 0 sur s.
?í
?? = ?í
?ç
On obtient au premier ordre l'équation :
?t + Vs?0
·
Vsç, sur s. (2.17)
Cette équation traduit le couplage entre le potentiel de
vitesse de l'écoulement ? et le déplacement de la
surface libre ç.
Sur le fond du bassin noté 0
Nous supposons dans un premier temps que le fond de notre bassin
est étanche, dans ce cas la condition de non
pénétrabilité du fluide s'écrit :
??
= 0.
?í
Ensuite, une étude pratique d'une autre condition aux
limites sera faite dans la partie numérique. Cette condition aux limites
est une condition aux limites transparentes que nous définirons dans la
suite, elle permet de limiter les phénomènes de réflexion
d'onde qui apparaissent au fond lorsqu'on considère un domaine
délimité par une frontière bornée.
Sur la structure immergée représentant le
sous-marin notée b
Dans ce travail, la structure (un sous-marin) est
supposée animée d'un mouvement rectiligne uniforme à la
vitesse : -u-?e1 dans un repère lié
à notre bassin rempli d'eau.
Et en se plaçant dans le référentiel
lié à la structure, cela revient à supposer qu'il est fixe
et parcouru par un écoulement uniforme de vitesse
u-?e1 ,
venant de x = -8 .
En désignant par d, le déplacement du
sous-marin dans le référentiel qui lui est lié, et par
íb la normale unitaire sortante à la frontière
b délimitant le sous-marin.
L'équation linéaire de son mouvement est d'une
manière génerale donné par:
?d?t + Vb?0
· Vbd,
?? = ?íb
ou Vb représente le gradient par rapport aux
coordonnées variant sur la frontière b.
Et comme dans ce référentiel le sous-marin est
immobile, on a : d = 0 ce qui implique que :
?? = 0, sur b. ?í
Sur les frontières latérales 1
et 2
Sur les frontières 1 et 2, on veut introduire des
conditions particulières d'entrée et de sortie pour simuler
l'écoulement à l'infini. Sur ces deux frontières un
traitement particulier sera fait.
Nous présentons dans la section suivante une
méthode permettant de répondre à cette
problématique : ce sont les conditions aux limites transparentes.
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