Chapitre 1
Modèle numérique
Problème
Hypothèses de modélisation
Modèle
mathématique
Evolution du
modèle
mathématique
Discrétisation du problème
Réponse obtenue
Vérification des hypothèses
de
modélisation (analyse du modèle
mathématique)
Interprétation des résultats
Estimation de la précision du modèle
numérique
Procédure numérique
Evolution du
modèle
numérique
(Nouveau modèle physique)
Figure 1.1: Processus d'analyse utilisant un modèle
numérique
7 /176
Chapitre 1
1.4. Méthodes d'approximations
Pour discrétiser les modèles complexes de
phénomènes physiques, l'ingénieur dispose à l'heure
actuelle de méthodes d'approximation permettant de résoudre la
plupart des problèmes pour lesquels il n'existe pas de solution
formelle.
Toutes les méthodes d'approximation
ont un même objectif, remplacer un
problème mathématique (équations
différentielles ou intégrales) par un problème
mathématique discret (équation matricielle),
problème de dimension finie que l'on sait résoudre
numériquement.
La classification que nous proposons sur la figure 1.2 n'est
pas unique, elle permet simplement de distinguer la méthode, en fonction
de la démarche utilisée pour obtenir une forme intégrale.
La transformation puis la discrétisation de cette forme intégrale
conduisent à une équation matricielle que l'on sait
résoudre analytiquement ou numériquement. Il est important de
noter qu'un problème physique peut être formulé de
façon équivalente en un système d'équations
différentielles ou sous une formulation variationnelle. Nous montrons un
peu plus loin comment passer de l'une à l'autre. Les méthodes
d'approximations sont :
Méthode des résidus
pondérés (ou annulation d'erreur) : Elle utilise
comme point de départ les équations locales et les conditions aux
limites du problème. Ces équations sont des
équations différentielles définies, d'une part sur
l'intérieur du domaine ce sont les équations locales, et d'autre
part sur la frontière du domaine ce sont les conditions aux limites.
Méthodes variationnelles : Le
point de départ de ces méthodes est un principe variationnel
qui est une formulation mathématique du problème
basée sur des considérations énergétiques. La
formulation obtenue dépend bien entendu des hypothèses de
modélisation du problème physique.
Chapitre 1
Système physique continu
Mise en équations
Méthodes
variationnelles
Formes différentielles
8 /176
Méthodes des résidus pondérés
Formes
Méthodes
d'approximation
Discrétisation
Formes matricielles
Figure 1.2: Vue synthétique des méthodes
d'approximation
1.5. Définition d'un problème de
l'élasticité linéaire
1.5.1. Equations fondamentales de la théorie de
l'élasticité
En Théorie de l'élasticité, et sous
l'hypothèse des petites déformations, le nombre d'inconnus pour
un problème de mécanique des milieux continus est égal
à 15.
En effet, l'objectif est de déterminer :
| 
