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Modélisation et simulation par éléments finis. Cas d'un tablier de pont.

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par Boris Sèdjro Sosthène KAGBO
ECOLE POLYTECHNIQUE D?ABOMEY-CALAVI - UNIVERSITE D?ABOMEY-CALAVI - Diplôme dà¢â‚¬â„¢Ingénieur de Conception en Génie Civil 2014
  

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Chapitre 2

Elément de référence à trois dimensions :

Figure 2.18 : Exemple d'éléments de référence à trois dimensions

- Dans les éléments de référence quadratiques, les noeuds situés sur les côtés sont aux milieux ( ) de ceux-ci. Dans les éléments cubiques, ils sont situés au tiers (1/3) et aux deux tiers (2/3) des côtés ;

- Les fonctions de transformation géométrique ( ) n'ont pas été données explicitement pour les éléments de référence ci-dessus. En effet la construction de ces fonctions est identique à celle des

49 /176

Chapitre 2

fonctions d'interpolation N( ) qui sera détaillée dans les lignes à suivre.

2.6. Approximation sur un élément de référence

2.6.1. Expression de la fonction approchée ( )

Nous choisissons sur le domaine V un ensemble de n noeuds

d'interpolation de coordonnées xi confondues ou non avec les noeuds géométriques.

Sur chaque élément Ve nous utilisons une approximation nodale de la

fonction exacte ( ).

( ) ( ) < ( ) ( ) ( ) > { < ( )>* +

où : x appartient à Ve,

sont les valeurs de aux e noeuds d'interpolation de
l'élément, ou variables nodales,

( ) sont les fonctions d'interpolation sur l'élément réel.

e ( ) ( ) < ( )>* +

Avec :

( ) , ( )-* +

: * + sont les variables nodales de l'élément ;

( ) sont les fonctions d'interpolation sur l'élément de référence. Remarque :

? En général les fonctions N(x) ne sont utilisées que pour des éléments simples. Elles sont le plus souvent remplacées par les fonctions N( ) où x et sont liés par la transformation ?? ;

Chapitre 2

? Les mêmes fonctions N( ) peuvent être utilisées pour tous les éléments possédant le même élément de référence caractérisé par

:

· sa forme ;

· ses noeuds géométriques;

· ses noeuds d'interpolation.

2.6.2. Propriétés de la fonction approchée ( )

2.6.2.1. Propriété fondamentale de l'approximation nodale

La fonction approchée ( ) coïncide avec la fonction exacte ( ) en

tous Les noeuds d'interpolation de l'élément, de coordonnées xi :

( ) ( ) < ( ) ( ) > {

}

De même, en utilisant l'approximation sur l'élément de référence

D'où:

Une

( ) ( ) < ( ) ( ) > { }

D'où :

50 /176

( ) {

51 /176

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"Tu supportes des injustices; Consoles-toi, le vrai malheur est d'en faire"   Démocrite