Chapitre 2
Continuité sur l'élément
Si nous désirons obtenir une fonction approchée
(x) continue sur l'élément, ainsi que ses
dérivées jusqu'à l'ordre s, nous devons utiliser
des fonctions ( ) continues et à dérivées continues
jusqu'à l'ordre s.
Continuité entre
éléments
Si nous désirons que (x) et ses
dérivées jusqu'à l'ordre soient
continues sur une frontière commune à deux
éléments, il faut que (x)
et ses dérivées jusqu'à l'ordre s
dépendent de manière unique des seules variables nodales
associées aux noeuds de cette frontière. Considérons
d'abord la continuité de (x) sur une frontière
(continuité
) :
( ) < ( ) ( ) > { }
Les produits ( ) , doivent être nuls si ,
n'est pas une variable
nodale associée à un noeud de cette
frontière.
D'où :
( ) ,
Lorsque x est situé sur une
frontière et , n'est pas une variable nodale de cette
frontière.
De même sur l'élément de
référence :
( ) ,
Lorsque est situé sur une frontière et ,
n'est pas une variable nodale de cette frontière.
u( )
La condition pour que soit continue sur une frontière
s'écrit de
manière similaire :
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Chapitre 2
u
u( ) ( ) ( ) u
< }
> {
u
où :
( )
Lorsque x est situé sur une
frontière et , n'est pas une variable nodale de cette
frontière.
La condition précédente s'écrit sur
l'élément de référence, à deux
dimensions:
( ) ( )
La notion de continuité sur les frontières entre
les éléments est une notion clé de la
méthode des éléments finis. Elle est
liée à la notion d'élément conforme ou non
conforme. Le type de continuité qu'il faut assurer dépend du
problème traité.
Si la fonction ( ) est seule continue sur les
frontières entre les
éléments, l'approximation est de type (ou
classe ). Si ( ) et ses
dérivées premières sont continues,
l'approximation est de type . Si
( ) et ses dérivées
jusqu'à l'ordre n sont continues, l'approximation est de
type .
Un élément est dit isoparamétrique
si les fonctions de transformation
géométrique N ( ) sont identiques aux
fonctions d'interpolation N ( ). Ceci implique que les noeuds
géométriques soient confondus avec les noeuds
d'interpolation.
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Chapitre 2
Nous dirons qu'un élément est
pseudo-isoparamétrique si ses fonctions N ( )
et N ( ) sont des polynômes différents utilisant les
mêmes monômes.
Si l'ordre des polynômes N ( ) est
inférieur à l'ordre des polynômes
N ( ), l'élément est
sub-paramétrique. Il est
super-paramétrique dans le cas contraire.
Le nombre de variables nodales ; associées
à l'ensemble des noeuds d'interpolation de l'élément est
appelé nombre de degrés de liberté de
l'élément et noté .
2.7. Construction des fonctions d'interpolations et de
transformations géométriques
2.7.1. Construction des fonctions N ( ) et Ni( )
Les fonctions de transformation géométrique N
( ) et les fonctions
d'interpolation sur l'élément de
référence Ni( ) ont les mêmes
propriétés.
Ceux-ci sont souvent des polynômes classiques de type
Lagrange ou Hermite; cependant il n'existe
pas de technique manuelle systématique pour les construire.
Nous proposerons dans les paragraphes suivants une
méthode numérique générale valable pour tous les
types d'éléments.
2.7.1.1. Méthode générale de
construction
Choix de la base polynomiale :
Exprimons ( ) sur l'élément de
référence sous la forme d'une
combinaison linéaire de fonctions connues
indépendantes P1( ), P2( ), ..., qui sont le
plus souvent des monômes indépendants. Le choix des fonctions
Pi( ) est l'une des opérations de base de la méthode des
éléments finis:
Nombre de dimensions
Bases complètes
1
1
Degré du polynôme r
2
1
Base polynomiale < >
<1 î> (linéaire)
<1 î î2> (quadratique)
2
3
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