Chapitre 2
( ) < ( ) ( ) ( )> { } < ( )>* +
L'ensemble des fonctions ( ) constitue la base
polynomiale de l'approximation, son nombre de termes doit être
égal au nombre de
variables nodales ou nombre de degrés de liberté de
l'élément. Nous
utilisons le plus souvent une base polynomiale
complète; ceci n'est
possible que pour certaines valeurs de , Le tableau
suivant précise le
nombre de monômes nécessaires pour
construire des polynômes complets.
|
Degré du polynôme r
|
1 dimension
|
2 dimensions
|
3 dimensions
|
|
|
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
2
|
3
|
6
|
10
|
|
3
|
4
|
10
|
20
|
|
4
|
5
|
15
|
35
|
|
5
|
6
|
21
|
56
|
Tableau 2.1 : Nombre de monômes nécessaire pour
construire des polynômes
complets
Bases polynomiales complètes et
incomplètes
55 /176
Chapitre 2
|
2
2
|
1
2
|
<1 î q> (linéaire)
<1 î q î2 îq q2 >
(quadratique)
|
3
6
|
|
3
3
|
1
2
|
<1 î q æ > (linéaire)
<1 î q æ î2 îq
q2 qæ æ2 îæ >
(quadratique)
|
4
10
|
|
Bases non complètes
|
|
2
3
|
2
3
|
<1 î q îq > (bi-linéaire)
<1 î q æ îq qæ îæ
îqæ >
(tri-linéaire)
|
4
8
|
Tableau 2.2 : Bases polynomiales complètes et
incomplètes
Pour construire les fonctions de transformation
géométrique ,
choisissons de la même manière des expressions de
x de la forme :
|
(
|
)
|
<
|
(
|
)>*
|
+
|
|
(
|
)
|
<
|
(
|
)>{
|
}
|
|
(
|
)
|
<
|
(
|
)>*
|
+
|
56 /176
Chapitre 2
Le nombre de fonctions ( ) et de coefficients * +, {
} et * + est égal au nombre de noeuds
géométriques de l'élément.
Définitions :
ü Les coefficients * + sont appelés
variables généralisées de l'élément
par opposition aux variables nodales *u
+ ;
ü La relation ( ) < ( )>* + définit
l'approximation généralisée
par opposition à l'approximation nodale ( ) < (
)>*u + ;
ü les coefficients * +, { } et * + sont
appelés parfois coordonnées
généralisées de l'élément par
opposition aux coordonnées nodales * +,
* +, * + des noeuds
géométriques.
Relations entre variables
généralisées et variables nodales :
Exprimons qu'en chaque noeud d'interpolation de
coordonnées * +, la
fonction u( ) prend la valeur nodale ( ) :
|
|
<
|
(
|
|
)
|
|
|
(
|
)
|
|
|
|
(
|
)>
|
|
|
U 2
} * +
{
|
|
<
|
(
|
|
)
|
|
|
(
|
)
|
|
|
|
(
|
)>
|
*
|
+
|
|
|
<
|
(
|
|
|
)
|
|
|
(
|
)
|
|
|
(
|
)>
|
|
|
En posant :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<
|
(
|
)
|
|
|
(
|
|
)
|
|
|
|
(
|
)>
|
|
|
|
, -
|
<
|
(
|
)
|
|
|
(
|
|
)
|
|
|
|
(
|
)>
|
|
|
|
|
<
|
(
|
|
)
|
|
|
(
|
|
)
|
|
(
|
|
)>
|
|
|
|
|
| 
