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Modélisation et simulation par éléments finis. Cas d'un tablier de pont.

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par Boris Sèdjro Sosthène KAGBO
ECOLE POLYTECHNIQUE D?ABOMEY-CALAVI - UNIVERSITE D?ABOMEY-CALAVI - Diplôme dà¢â‚¬â„¢Ingénieur de Conception en Génie Civil 2014
  

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Chapitre 2

nous pouvons écrire :

* + , -* +

Soit en inversant la matrice nodale , - d'ordre

* + , - *u +

Pour passer de *u + , -* + à la relation * + , - *u + il ne faut

pas que , - soit singulière. Ceci dépend du choix de la base polynomiale et des coordonnées * + des noeuds de l'élément de référence. Puisque , - est indépendante de la géométrie de l'élément

réel, la propriété de singularité de , - est une caractéristique de l'élément de référence et non de l'élément réel.

De la même manière, nous écrivons les relations aux noeuds géométriques:

*

+

,

-*

+

*

+

,

-{

}

*

+

,

-*

+

 

Soit après inversion de , -

*

+

,

- *

+

{

}

,

- *

+

*

+

,

- *

+

 

57 /176

? Expression des fonctions Net N :

58 /176

Chapitre 2

Reportons * + , - *u + dans

( ) < ( ) ( ) ( )> { } < ( )>* +

Nous avons :

( ) < ( )>, - * +

Soit :

( ) , ( )-* +

D'où :

( ) < ( )>, -

Nous obtenons de la même manière dans le cas des fonctions N :

( ) < ( )>* +

( ) < ( )>* +

( ) < ( )>* +

Où :

< ( )> < ( )>, -

? Dérivation de la fonction ( ) :

Les fonctions dérivées s'obtiennent comme suit :

< > < >

{ < >

< >

} , - *u +

*u + [ ]*u +

[ < >] [ < >]

Résumé des opérations de construction de <N>

59 /176

Chapitre 2

ü Choix de la base polynomiale < ( )>

;

 

ü Evaluation de la matrice nodale , - [ ( )] ;

ü Inversion de la matrice nodale , - ;

ü Calcul de <N> aux points désirés :

( ) < ( )>, -

Il est important de noter que ces opérations ne doivent être effectuées qu'une seule fois pour l'ensemble des éléments réels qui possèdent le même élément de référence.

2.8. Matrice élémentaire

2.8.1. Matrice de rigidité élémentaire

Pour un élément de domaine , la matrice de rigidité élémentaire vaut :

?, - , -, -

, - représente la matrice des fonctions de déformation ; , - représente la matrice des constantes d'élasticité.

2.8.2. Matrice des forces équivalentes de volume

Pour un élément, la matrice des forces équivalentes de volume se détermine par la formule ci-dessous:

* + ?, - * +

, - représente la matrice des fonctions d'interpolations * + représente le vecteur des forces volumiques.

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