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Modélisation et simulation par éléments finis. Cas d'un tablier de pont.

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par Boris Sèdjro Sosthène KAGBO
ECOLE POLYTECHNIQUE D?ABOMEY-CALAVI - UNIVERSITE D?ABOMEY-CALAVI - Diplôme dà¢â‚¬â„¢Ingénieur de Conception en Génie Civil 2014
  

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Avant-propos

L

'idée fondamentale derrière la méthode des éléments finis remonte loin en arrière. Les Grecs par exemple avaient reconnu que l'on peut approcher la solution d'un problème complexe en le divisant en problèmes plus simples. On peut par exemple approcher le périmètre d'un cercle en calculant le périmètre d'un polygone à n côtés, pourvu que n soit suffisamment grand. Il suffit alors de connaitre la longueur d'un segment de droite, problème beaucoup plus simple que celui de la longueur d'un arc de cercle.

Le présent travail se veut être une base solide de restitution de connaissances techniques et pratiques indispensables à la construction d'un modèle élément fini, en vue d'une simulation numérique.

Nous poursuivrons ainsi deux objectifs. Bien sûr, nous souhaitons une description relativement classique des principales étapes de mise en oeuvre de la méthode sur un ordinateur et passer directement à une illustration à travers notre étude de cas, mais notre objectif est d'en dégager aussi les bases mathématiques les plus fondamentales.

On peut se demander s'il y a vraiment besoin de s'attarder autant sur les aspects plus mathématiques. La réponse nous est apparue de plus en plus évidente au vu des applications énormes de cette méthode en ingénierie et des contraintes de sécurité de plus en plus sévères qui entrent en jeu de compte.

Les logiciels modernes utilisant la méthode des éléments finis bénéficient d'une interface graphique rendant leur utilisation relativement simple. Par ailleurs, un certain nombre de tâches sont automatisables. On peut donc quasiment lancer un calcul sur ordinateur sans connaître la méthode.

Cependant, le modèle utilisé risque d'être inadapté au problème, on aura donc un résultat très éloigné de la réalité. L'utilisateur doit avoir des connaissances suffisantes pour être en mesure de :

? maîtriser le modèle, c'est-à-dire utiliser les options permettant de représenter le plus fidèlement possible la réalité ;

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Avant-propos

· contrôler la qualité du résultat, détecter les résultats manifestement erronés et juger de la fiabilité des calculs qui leur sont présentés ;

· interpréter les résultats, et éventuellement les post-traités, c'est-à-dire utiliser les résultats pour faire d'autres calculs.

L'utilisation d'un logiciel de résolution par la méthode des éléments finis est donc faussement simple, ce qui n'est pas sans poser problème :

Car la manipulation de plus en plus fréquente de ce genre de technologie par des personnels non spécialistes ou inadéquatement formés commence à être une source d'inquiétude très sérieuse, compte tenu des enjeux de sécurité sous-jacents. De manière générale, utiliser un logiciel quelconque pour résoudre un problème d'ingénierie sans en comprendre le fonctionnement est très dangereux.

Le 1er chapitre est consacré à la résolution théorique par l'approche variationnelle du système d'équations de lamé qui est un cas particulier des équations stationnaires, de l'élasticité linéaire, modélisant les déformations d'un solide sous l'hypothèse de petites déformations et de petits déplacements. Nous illustrons ainsi l'une des méthodes étant à la base des bases de la méthode des éléments finis.

Le 2ème chapitre est dédié à l'étude des principes de bases de modélisation par éléments finis ; il fait notamment ressortir les notions de :

· discrétisation d'un domaine en éléments de formes connues ;

· matrice des fonctions d'interpolations ;

· matrice de rigidité élémentaire ;

· assemblage des matrices élémentaires.

Le 3ème chapitre aborde l'étude des propriétés de quelques éléments finis, il s'est achevé par l'élaboration d'un programme de calcul de la matrice de rigidité élémentaire pour l'élément fini tétraédrique à 12 DDL. Ce programme, loin d'être un programme de résolution complet, est destiné principalement à être utilisé en tant que routine (sous-programme), dans un programme global de résolution de modèles éléments finis.

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Avant-propos

Le 4ème chapitre étudie un cas pratique de simulation numérique effectué sur un tablier de pont.

Nous insistons notamment sur le fait que notre travail ne consiste pas en une étude technique détaillée du pont, mais à construire un modèle numérique, élément fini, du tablier et à effectuer une simulation numérique sur ce modèle.

Le modèle élément fini, ainsi construit, fait alors office de maquette numérique sur laquelle on observera l'influence, en temps réel, des différentes actions agissant sur la structure.

Le travail consistera, en tenant compte de plusieurs essais de cas de charges, à définir les cas produisant les effets les plus défavorables et à partir de ces considérations pour proposer un dimensionnement des éléments du tablier.

Aussi, le présent travail a permis d'expliquer en détail la manière dont le logiciel Autodesk ROBOT SAP 2012 doit être utilisé pour conduire des essais de simulation numérique.

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"L'ignorant affirme, le savant doute, le sage réfléchit"   Aristote