Compression d'images fixes: comparaison des méthodes par transformations en ondelettes et celle par curvelets

CHAPITRE II : DE L'ANALYSE DE FOURRIER A L'ANALYSE PAR ONDELETTES

Symmetry	yes	far from	yes	yes
Number of vanishing moments for psi	I	N
Effective support	[0 I]		[-8 81	[-5 51

Tableau 1 Tableau de comparaison de quelques ondelettes les plus courantes

A partir de l'ondelette mère =, on introduit alors les facteurs de translation u et d'échelle s :

=@,B (t) = ~v@ø (/,@

B ) qui est la famille d'ondelettes liée à =,

La transformée en ondelette d'une fonction f continue s'écrit donc comme décomposition en

01 01

fonctions ø@,B de f : E#, F ~ ~ ,1 ~~*~ =^Gu,s(t) 2* = ~ ~~*~ ~ =G~^/,H ~ 2*

^,1 vB B

On se déplace sur le plan temps-fréquence en faisant varier s et u. La valeur que l'on obtient est alors la décomposition spectrale locale de f. L'énergie de =@,B est concentrée autour de u sur une largeur s ó_J ou K_/ est la largeur du rectangle de l'ondelette mère. On peut évaluer aussi la transformée de Fourrier =@,B , pour voir la localisation et la largeur du rectangle en fréquences.

1

u,s(ù) = f ₊₁ =_u,s(t)+^,78/ 2*

= vB ~ f =^/,H

01 +,78/ 2* or

,1 ^B

Fø^L~F;~ ~ ~ =

,1 ~ /

01 B )+,78/ 2* donc, en posant t' = t - u, on obtient :

ø^Lu,s(ù) = vB ~ ~ =^/M

01 B~+,78~/M0H~ 2*N
^,1

= vB1 ~f =~^/M

01 B ~ +,78/M _2*N~ ₊^,78H
^,1

vB ~ ø

(sù)e,QRS

=

L

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On voit donc que ø^Lu,s est obtenu en dilatant øL

par ~ . Donc l'énergie de ø^Lu,s est concentrée B

autour d'une fréquence centrale sur un intervalle proportionnel à ¹. En conclusion, les

B

rectangles de Heisenberg sont, dans l'analyse par ondelette, de largueur temporelle s a_t et de

largeur fréquentielle ¹ a_w , ou a_t et óT correspondent respectivement aux largeurs du rectangle

B

de Heisenberg de l'ondelette Mère.

Figure 5 Atome de la Wavelet Transform

Il est à noter que la transformée inverse se déduit facilement :

01 01

fC*~ = > > UE~~#, F~V=H,B ~*~ 2# 2F

^,1 ^,1

Avantages

Le fait que la transformée utilise des fonctions bien localisées dans le plan temps-fréquence lui donne beaucoup d'avantages :

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> La résolution en fréquence de la transformée dépend du facteur de dilatation s par le principe d'Heisenberg, on peut donc choisir arbitrairement celle-ci suivant ce que l'on désire analyser.

> Pour des signaux physiques présentant des variations très rapides, des sauts, des marches, bref des discontinuités ; l'analyse en ondelettes est adaptée car l'ondelette va détecter ces variations et analyser celles-ci. Cette particularité rend l'analyse en ondelettes complémentaire à l'analyse de Fourier. En effet, avec l'analyse de Fourier, les discontinuités d'un signal ne sont pas facilement analysables, car les coefficients des fréquences correspondantes sont étalés dans toute la transformée.

> La localisation en temps est précieuse pour nombre d'applications. La transformée en ondelettes peut représenter complètement et efficacement un signal quelconque en peu de coefficients.

Inconvénients

> L'inconvénient majeur de la TOC est qu'elle est très redondante et par conséquent très lourde pour une implémentation algorithmique.

Il existe aussi une version discrète de la transformation en ondelettes qui correspond au cas où les paramètres d'échelle et de translation appartiennent à des ensembles discrets. L'on montre que le choix d'une base d'ondelettes discrètes Orthogonales produira un effet moins redondant et plus souple pour une implémentation d'un algorithme de calcul rapide (FWT: Fast Wavelet Transform).

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