2.2 Les modèles volumiques
Les modèles empiriques sont des descriptions
mathématiques entre les propriétés diélectriques et
d'autres caractéristiques d'un milieu, en particulier sa teneur en eau
volumique et sa texture. Des informations de nature physique ne sont pas
nécessaires à une telle description. Par conséquent, un
modèle empirique est dépendant de la série de
données utilisée pour définir la relation. Cependant, la
validité des modèles présentés a été
approuvée sur de nombreux jeux de données
expérimentales.
Le modèle empirique le plus employé pour
représenter la conductivité électrique basse
fréquence (en courant continu : óDC) est la loi d'Archie.
Dans le cas de la permittivité diélectrique
haute fréquence ne dépendant que de la polarisation dipolaire
liée à la rotation de la molécule d'eau, Topp et al.
(1980) ont établi expérimentalement un polynôme qui permet
d'exprimer la permittivité diélectrique en fonction de la teneur
en eau volumique de l'échantillon.
S
= = x
w r n ? m
S w
o- F
??
w
2.2.1 La loi d'Archie
La loi empirique d'Archie (1942) vérifiée pour la
plupart des matériaux poreux atteste que la
conductivité de la roche est très sensible à
la teneur en eau. La forme généralisée de cette loi
o-
(19)
valable en milieu non saturée s'écrit :
n
w
Conductivité électrique du milieu
Conductivité électrique de l'eau interstitielle
9
Sw : Degré de saturation de
l'échantillon, égal au rapport entre sa teneur en eau volumique
et sa porosité :
F : Facteur de formation défini comme le rapport entre la
conductivité du fluide et la
conductivité de l'échantillon :
(23)
Porosité de l'échantillon
m : Exposant de cimentation avec pour la majorité des
roches. Ce facteur varie en
fonction du degré de consolidation et de
l'argilosité
n : Exposant de saturation (valeur prise égale à 2
en général)
En faisant intervenir la teneur en eau volumique cette loi peut
encore s'écrire :
(24)
Et puisque n-m est généralement beaucoup plus
petit que m alors cela montre que le terme le plus influent dans la
conductivité globale est la teneur en eau volumique
En pratique, le terme est le plus souvent compris entre 0.5 et
1 et en première approximation on l'assimile à 1 pour obtenir une
loi d'Archie simplifié
2.2.2 Loi de Topp
La formule de Topp est une relation empirique basée sur
un ensemble de mesures TDR (Time Domain Reflectometry) réalisées
sur différents matériaux à différentes teneurs en
eau. Elle est valable pour des fréquences de mesure allant de 1 MHz
à 1 GHz.
De nombreuses mesures de teneur en eau ont été
établies en parallèle à des mesures de constantes
diélectriques par Topp et al (1981) afin de donner finalement naissance
à une loi
empirique de la forme :
(25)
La relation inverse permettant de retrouver la teneur en eau
à partir de la mesure de la permittivité diélectrique
s'écrit :
(26)
Cette formule est valable pour une gamme de fréquence de
10MHz à 1 GHz et a donné de très bon résultats pour
une large gamme de sols et de teneurs en eau volumique allant de 5-50%. La
formule de Topp est inappropriée pour les sols argileux et les sols
riches en matière organique. (Bohl and Roth, 1994) (Figure 2).
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Figure 2 : Corrélations utilisant les
teneurs en matières organiques et le pourcentage d'argile ((Bohl and
Roth, 1994)
Une formule empirique prenant en compte les sols argileux et les
sols riches en matières organiques a été par la suite
établie par un groupe de chercheurs (Gaidi, 2001) et s'exprime comme
suit :
(27)
D'autres formules à l'exemple de celle de Jacobsen (1993),
Nadler et al. (1991) (Figure 3). permettent également de retrouver la
teneur en eau volumique connaissant la permittivité. Elles s'expriment
respectivement comme suit :
(28)
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Figure 3: Variation de la teneur en eau
volumique en fonction de la constante diélectrique
(Gaidi 2001)
? ?? ??(???)
1?(1??) ?
r w
Quelques chercheurs introduisent dans leurs équations
l'effet de la température sur le calcul de Topp et al. (1980) signalent
qu'aucun effet de la température n'est trouvé entre 10 et
36°C.
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