I.2. MÉNAGES.
Le coté demande est décrit par les
ménages. D'une façon générale, on considère
que les ménages disposent d'un revenu salarial  et maximisent l'utilité escomptée à temps  :
 (1.10)
p est le taux de mortalité,  la consommation, U la fonction d'utilité et  la préférence pour le présent. Le ménage
est contraint par sa fonction d'accumulation de richesse qu'on suppose
constituée de titres publics  et de titres privés  . Ces titres donnent droit à des annuités au taux
équitable d'un point de vue actuariel, soit  . En nous ramenant au taux de natalité net ( ), le problème est formulé comme suit (Greiner et Semmler,
2000) :
 les transferts que les vieilles générations
reçoivent des jeunes générations et  l'épargne ou richesse.
Pontryagin et al (1962) montrent qu'on peut appliquer le
principe du maximum à des problèmes de contrôle optimal en
temps discret. Les conditions nécessaires (Principe du maximum)
appliquées à l'Hamiltonien en valeur courante donne le
système Hamiltonien suivant :
(1.11)
Si on suppose les préférences concaves, alors
cette condition est suffisante18(*). Pour des préférences logarithmique on
a :
 (Règle de Keynes-Ramsey) (1.12)
En limitant le modèle à génération
imbriqué à deux périodes, on supposera que la jeune
génération j travaille et paye des taxes  pendant que la vieille génération v
reçoit uniquement un transfert  , rémunération de leurs titres publics et privés,
et n'épargnent pas. En appliquant la contrainte de chaque type d'agent
à la règle de Keynes-Ramsey, on obtient :
 (1.13)
En supposant que les taxes et les rendements des actifs sont
proportionnels au salaire, on peut écrire :
  (1.14)
 est le taux de taxe inférieur à 1 et  le rendement des actifs supposé strictement positif. Ainsi les
jeunes consommateurs accumulent leur richesse sous forme de titres publics  et privés . Il n'y aura pas d'arbitrage donc pas d'éviction si les deux
taux sont les mêmes.
I.3. SECTEUR PUBLIC.
Le secteur public est caractérisé par l'Etat
qui a une durée de vie infinie et soumis à une contrainte
budgétaire intertemporelle (règle de jeu Ponzi). Ainsi :
 (1.15)
 est le surplus primaire donné par la différence entre les
taxes payées par les jeunes générations et les
bénéfices payés aux vieilles générations
 ) (1.16)
En limitant la contrainte à deux périodes on
obtient :
 (1.17)
Il n'est pas possible d'appliquer le théorème de
l'équivalence Ricardienne (Barro, 1976) dans la mesure où nous
avons supposé qu'il n'existe pas de solidarité
intergénérationnelle. Ainsi, le régime de politique fiscal
caractérisé par la suite  est l'unique de toutes les séquences que l'on puisse choisir de
façon indépendante étant donné que le
théorème de l'équivalence Ricardienne n'est pas
vérifié. En considérant toujours que les taxes et les
rendements des titres sont proportionnels au salaire, le gouvernement
possède deux instruments pour contrôler le surplus primaire, donc
sa dette : le taux d'imposition  et le rendement des titres publics,  .
* 18 La condition du second
ordre est donnée par Mangassarian (1966). Nous allons dans la suite,
sans nuire à la généralité, considérer des
préférences logarithmiques. Ceci implique l'accumulation des
richesses à travers l'épargne est indépendant du taux
d'intérêt en absence de mécanismes de transfert
(Annicchiarico et Giammarioli, 2004)
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