III.2.2. La droite
Une droite est une suite continue et illimitée des
points alignés. Sa forme générale est : Ay+Bx+C = 0.
Avec A, B, C, å R. Donc toute équation du premier degré est
une droite.
Ainsi, l'ensemble des phénomènes
économiques interdépendants deux à deux et chacun
évoluant progressivement suivant le modèle d'une progression
arithmétique ; chaque phénomène avec sa raison de
progression précise, sa courbe représentative est une
droite.
Exemple :
Sur le marché d'un bien, on observe pendant un temps
bien déterminé ceci : lorsque le prix augmente chaque fois
d'un franc, la quantité d'unités demandées diminue de 2.
Représentons graphiquement ce phénomène sachant
initialement lorsque le prix vaut 1, la quantité égale 8.
Quantité
8
7
6
5
4
3
2
1
Figure 3.6
Prix
4
3
2
1
Ainsi grâce à la représentation sur la
figure 3.6, nous pouvons trouver l'équation de cette droite.
Pour avoir cette équation, prenons au préalable
deux couples (points) de ce phénomène (prix -
quantité).
Dans la géométrie analytique, l'équation
d'une droite passant par deux points (x1, y1) et
(x2, y2) se présente comme suit :
Y2 -Y1
X2 - X1
Y - Y1 = (X - X1)
Si nous prenons les niveaux « prix -
quantité » (1, 8) et (4, 2) ; nous aurons :
2 -8
4 - 1
Y - 8 = (X - 1)
Y - 8 = -2 (X - 1)
Y - 8 = -2x + 2
Y = -2x + 10 (1)
Si dans l'équation (1) nous remplaçons y par la
quantité q et x par le prix p, nous aurons la fonction de demande de ce
phénomène qui est l'équation de la droite. q = -2p +
10.
III.2.3. Lieux
géométriques
1. Définitions
Un lieu géométrique est l'ensemble des points
jouissants d'une propriété commune bien définie. Ex :
droite, cercle, Ellipse, Hyperbole, parabole.
Ainsi l'ensemble des phénomènes
économiques interdépendants évoluant suivant une
règle bien définie et pouvant être
représentée graphiquement, est un lieu
géométrique.
Exemple : voir phénomène
représenté sur la figure 3.6.
Tout changement de la demande en fonction du prix, sur un
même marché pour un ou plusieurs biens déterminés
suivant une quelconque propriété, la représentation
graphique de la fonction de cette demande est un lieu
géométrique.
2. Méthodes de recherche
La recherche d'un lieu géométrique consiste
à trouver l'équation algébrique de ce lien.
L'équation d'un lieu géométrique est une
expression algébrique qui décrit la condition d'appartenance
à ce lieu, c'est-à-dire qui caractérise tous les points de
ce lieu. Cette équation exprime ainsi la relation qui existe entre les
coordonnées x et y d'un point quelconque P(x, y) de ce lieu.
Il existe différentes méthodes de recherche des
lieux géométriques ; mais nous n'utiliserons uniquement que
la méthode dite de traduction.
Méthode de traduction
On traduit la propriété commune en donnant
à un point du lieu les coordonnées (?, â). si la
propreté s'écrit f(?,â) = 0, alors le lieu cherché
est f(x, y) = 0
Exemple :
Un point P se déplace de telle sorte que la somme de
ses distances aux axes coordonnées est égale au carré de
sa distance à l'origine. Trouvez l'équation du lieu de P.
En effet, soit P (?, â) :
- distance de P (?, â) à OX = â
- distance de P (?, â) à OY = ?
- distance de P (?, â) à 0 (00) = v?² +
â²
on a â + ? = (v?² + â²)²
â + ? = ?² + â² = ?² +
â² - ? - â = 0
Lieu : x² + y² -x - y = 0, c'est un cercle
Notons que la manière de traduire un fait
géométrique ne sera pas nécessairement la même que
celle de traduire un phénomène économique.
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