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# Les fractals et leur géométrie

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par Abderrahmane & Abdessalem BELLAL & BENTERKI
Université Dr.Yahia Farès de Médéa Algérie - Master 2 en mathématiques 2011

# Abstract

The questions of fractal's constructions interest the researchers since many years and the method of iterated functions systems is currently very used.

Our work is in order to present the fractals and their geometry and to introduce the method of construction based on iterated functions systems (IFS) and in particular, those on multifunctions. To do this, we have given in this thesis some notions on topology and on measure theory of the Euclidien space IV necessary to the study of fractals. We have then introduced the notions of Hausdorff dimension and that of topological dimension to give the mathematical definition of fractals. The geometry of fractals and some well known examples and their program in Matlab® have been also presented.

In the last part of this thesis, we were interested in the IFS technics and in particular those on multifunctions.

Keywords

Fractal, Hausdorff dimension, topological dimension, Hausdorff measure, iterated functions systems, multifunctions, outer measure.

# Table des matières

Remerciements iii

# Résuméiii

Notations et symboles ix

Introduction xi

 1 Mesures et structures boréliennes 1.1 Mesure positive 1.2 Mesure extérieure 11 5 ` ` ` ` 1.2.1 Prolongement d'une mesure 7 ` ` ` ` 1.2.2 Exemples de mesures extérieures 9 2 Dimension et mesures de Hausdorff 11 ` ` 2.1 Mesures de Hausdorff 11 ` ` 2.2 Dimension de Hausdorff 19 ` ` 2.3 Calculs des dimensions 23 3 Dimension topologique 33 4 La géométrie des fractals 37 ` ` 4.1 Système de fonctions itérées 38 ` ` ` ` 4.1.1 Dimensions des ensembles auto-similaires 47 ` ` ` ` 4.1.2 Système de fonctions itérées affines dans R2 50 ` ` ` ` 4.2 Système de fonctions itérées complexes 54

4.2.1 Les ensembles de Julia 55

4.2.2 L'ensemble de Mandelbrot 61

4.3 Systeme de fonctions it'er'ees sur les multifonctions 65

Conclusion et perspectives 71

Programmes sur les fractals 72

.1 L'ensemble de Cantor 72

.2 Courbe de von Koch 73

.3 Triangle de Sierpenski 74

.4 Fougere de Barnsley 76

.5 Poussiere de Cantor 77

.6 Tapis de Sierpenski 78

.7 L'ensemble de Julia 80

.8 L'ensemble de Mandelbort 81

R'ef'erences bibliographiques 82

# Table des figures

2.1 Graphe de 7(8(F) 20

2.2 L'ensemble triadique de Cantor 23

2.3 La courbe de von Koch 25

2.4 La courbe de Koch quadratique de type 1 26

2.5 La courbe de Koch quadratique de type 2 27

2.6 Le flocon de von Koch 28

2.7 Le triangle de Sierpinski 28

2.8 Recouvrements du triangle de Sierpinski 29

2.9 Le tapis de Sierpinski 30

2.10 L'éponge de Menger 30

2.11 La courbe de Peano 31

3.1 Poussière de Cantor 36

4.1 Exemple d'auto-similarité 38

4.2 La courbe de Koch quadratique modifié 49

4.3 La fougère de Barnsley 54

4.4 Ensemble de Mandelbrot 62