Notations et symboles
Symboles Description
Ø L'ensemble vide.
:= Par définition
voln Le volume n-dimensionelle.
diam Diamètre
P(E) L'ensemble des parties de E.
A L'adhérence de A.
?A La frontière de A.
Gä L'itersection dénombrable des ouverts.
Fó L'union dénombrable des
fermés.
u|A La restriction de u sur M.
B Une tribu.
B(E) La tribu borélienne de E.
u Une mesure positive.
u* La mesure extérieure.
M = {A E P(E) : A est u*-mesurable}.
L1 La mesure extérieure de Lebesgue dans R1.
Ln La mesure extérieure de Lebesgue dans Rn.
Hs La mesure de recouvrement s-dimensionnelle.
ä
Hs La mesure de Hausdorff s-dimensionnelle.
dimT La dimension topologique.
dimH La dimension de Hausdorff.
(x) La fonction gamma d'Euler.
K(E) L'ensemble des compacts de E.
Symtholes Description
dH Distance de Hausdorff dans /C(E).
J(f) L'ensemble de Julia de fonction f.
CHAPITRE 0
INTRODUCTION
P
lUSIEURS personnes ont une idée de la signification du
mot «fractal» mais peu savent vraiment de quoi il s'agit.
Inventépar Benoàýt Mandelbrot, ce mot signifie a` la fois
«brisé» et «irrégulier» et sert a`
représenter géométriquement des objets dont la forme est
extrêmement irrégulière.
Dans les années 70, le champ d'action des
mathématiques a pris une nouvelle dimension par l'ajout de la
géométrie fractale. Depuis, il a
étédémontréque les fractals peuvent servir de
modèle pour représenter la géométrie de la nature
et ont des applications dans plusieurs domaines (théorie des nombres,
système dynamique, mécanique, mouvement Brownien, applications
physiques, ... etc [voir [8, 9]]).
Cette thèse, qui se veut être une introduction et
une modeste contribution a` la compréhension de la complexitédes
fractals, consiste a` présenter les fractals et leur manière de
construction par une méthode simple due a` J. E. Hutchinson et
perfectionnée par Michael Barnsley.
Notre travail se subdivise en quatre chapitres.
Le premier présente les outils mathématiques de
base qui seront utilisés tout au long de ce travail. Il sera
consacréau rappel de quelques notions de topologie, de mesures et de
mesures extérieures.
Le second est dédiéaux mesures de Hausdorff qui
sont des mesures extérieures et a` leurs principales
propriétés. La notion de mesure de Hausdorff est plus
générale que celle de Lebesgue, et malgréla
difficultéde calculer la mesure de Hausdorff d'un objet fractal, on
peut
xii
connaitre sa dimension de Hausdorff beaucoup plus facilement.
Le troisieme chapitre est consacr'e a` l''etude de la
dimension topologique qui est primordiale pour la d'efinition math'ematique des
objets fractals. Nous y avons pr'esent'e la dimension topologique pour un
espace topologique quelconque, et comme tous les fractals 'etudi'es sont
exclusivement dans Rn, nous avons pr'esent'e «la forme
simplifi'ee» de la dimension topologique sur les espaces m'etrisables.
Le quatrieme chapitre a` servi pour d'efinir les objets
factals qui sont des objets dont la dimension de Hausdorff est strictement
sup'erieure a` la dimension topologique. Ce chapitre est subdivis'e en trois
parties.
- La premiere sert a` pr'esenter les systemes de fonctions
it'er'ees (IFS) qui constituent une facon de construire les
fractals. Et pour le faire, nous avons 'et'e amen'es a` pr'esenter quelques
rappels sur les espaces m'etriques complets, la distance de Hausdorff et le
th'eoreme de point fixe de Banach. Nous avons donn'e la dimension de certains
ensembles auto-similaires et la m'ethode num'erique pour la d'eterminer ainsi
que les algorithmes pour d'eterminer les attracteurs de ces IFS.
- La deuxieme partie est consacr'ee a` deux ensembles
fractals sur C (les ensembles de Julia et l'ensemble de Mandelbrot) et a` leurs
propri'et'es topologiques et g'eom'etriques.
- La troisieme partie traite des questions plus r'ecentes et de
la g'en'eralisation des IFS a` l'espace des multifonctions.
A la fin du document et en utilisant les systemes de fonctions
it'er'es (IFS), nous avons pr'esent'e des programmes permettant de visualiser
la construction des fractals sous Matlab®.
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