Les fractals et leur géométrie

CHAPITRE 1

MESURES ET STRUCTURES BOR'ELIENNES

n

iEI

Dans ce chapitre, nous donnons quelques notions de base qui serons utilisées tout au long de cette th`ese. Nous commencons tout d'abord par un rappel sur la théorie de la mesure qui joue un ràole important dans l'étude des fractals.

Section 1.1

Mesure positive

Soit E un ensemble quelconque (généralement, nous travaillons sur un espace euclidien n-dimensionnel, Rⁿ).

Une collection non vide A de parties de E est dite :

- algèbre sur E si elle contient 0 et E, stable par passage au complémentaire et par union finie (i.e. pour tout A, B ? A, on a : A^c ? A et A ? B ? A).

- ó-algèbre ou bien tribu sur E si elle contient 0 et E, stable par passage au complémentaire et par union dénombrable.

Si B est une tribu sur E, le couple (E, B) est appeléespace mesurable. Les parties de E
qui sont ( resp. ne sont pas) des 'el'ements de B sont dites mesurables (resp. non mesurables).
Soient E et I deux ensembles. Pour tout i ? I, on se donne une tribu Bi sur E. Alors
Bi = {A ? E : A ? Bi, ?i ? I} est encore une tribu sur E. Cette stabilitépar intersection

des tribus permet de définir la notion de tribu engendr'ee par une partie C ? P(E) comme la plus petite tribu contenant C. On la note óE(C) ou ó(C).

On rappelle qu'une «topologie» sur E est la donnée d'une famille de parties de E, appelées
«ouverts de E», contenant 0 et E, stable par union (quelconque) et stable par intersection
finie. L'ensemble E, muni de cette famille de parties, est alors appeléun «espace topologique».
On appelle tribu bor'elienne (ou tribu de Borel) sur un espace topologique E, la tribu

engendr'ee par l'ensemble des ouverts de E, cette tribu sera not'e B(E). Les 'el'ements de
B(E) sont appel'es les boréliens de E. Dans le cas E = Rⁿ, cette tribu est donc not'e B(Rⁿ).

Il est clair (Rudin [29, p. 11]) que les ferm'es de E sont des bor'eliens puisque par d'efinition ce sont les compl'ementaires des ouverts de E. De màeme, les r'eunions d'enombrables de ferm'es et les intersections d'enombrables d'ouverts constituent des bor'eliens fort importants, auxquels on a respectivement donn'e a` la suite de Hausdorff le nom de F<sub>a</sub> et G8. Les lettres F et G sont utilis'es pour d'esigner respectivement les ferm'es et les ouverts ; ó se rapporte a` la r'eunion, ä se rapporte a` l'intersection. Par exemple, tout intervalle semi-ouvert [a, b[ est un G8 mais 'egalement un F_a dans R.

Soit C une partie de P(E) contenant 0. Une mesure positive sur C est une application u : C ? R+ v'erifiant :

? u(0) = 0.

? u est ó-additive, c'est-`a-dire que pour toute famille (A<sub>n</sub>)<sub>nE</sub>N ? C de parties deux a` deux

disjointes, (i.e. An n Am = 0, si n =6 m) et telle que U nEN			An ? C, on ait
u( U nEN	X An) = nEN	u(An). (1.1)

Si B est une tribu sur E et si u est une mesure positive sur B, le triplet (E, B, u) est appel'e espace mesur'e.

Proposition 1.1.1 (Propri'et'es des mesures) Soit (E, B, u) un espace mesuré. La mesure u vérifiéles quatres propriétés suivantes

? Monotonie : Soit A, B ? B, A ? B, alors

u(A) .<, u(B). (1.2)

? ó-sous-additivité: Soit (A_n)_nEN ? B, alors

u( U nEN

An) ... E nEN

u(An). (1.3)

? Continuitécroissante : Soit (A_n)_nEN ? B, tel que A_n ? An+1, pour tout n ? N, alors

u(U nEN

An) = lim n-+oo

u(An) = sup nEN

u(An). (1.4)

T Continuitedecroissante : Soit (An)n?N ? B, tel que A_n+1 ? An, pour tout n ? N, et tel qu'il existe n0 ? N, u(A_n0) < 8, alors

\ u( n?N

An) = lim n?8

u(An) = inf u(An). (1.5) n?N

D'EMONSTRATION :

1. Monotonie. Soit A, B ? B, A ? B. On a B = A ? (B\A) et A n (B\A) = Ø. Comme A ? B et B\A = BnA^c ? B, l'additivitede u (voir 1.1) donne u(B) = u(A)+u(B\A) > u(A), car u prend ses valeurs dans R+.

Noter aussi que u(B\A) = u(B) - u(A) si 0 6 u(A) 6 u(B) < 8 (mais cette relation n'a pas de sens si u(A) = u(B) = 8).

2. ó-sous additivite. Soit (An)n?N ? B. On veut montrer que _u(?n?NAn) 6 E u(A_n).

n?N

On pose B0 = A0 et, par recurrence sur n, B_n = A_n \(?_i^n-₀ ¹Bi) pour n > 1. Par recurrence sur n on montre que B_n ? B pour tout n en remarquant que, pour n > 1, B_n = A_n n (nin0 ¹B). La construction des B_n assure que B_n n B_m = Ø si n =6 m et ?n?NAn = ?n?NBn. Pour verifier cette derni`ere propriete, on remarque que B_n ? A_n donc ?n?NBn ? ?n?NAn. Puis, si x ? A_n et x ?/ ?in-0 1 Bi, on a alors x ? Ann(ni^n-0 ¹B) =

B_n. Ceci prouve que ?n?NAn ? ?n?NBn et donc, finalement,?_n?NA_n = ?n?NBn.

On utilise maintenant la ó-additivitede u et la monotonie de u (car B_n ? A_n) pour

ecrire u(?n?NAn) = u(?n?NBn) = E u(B_n) 6 E u(A_n).

n?N n?N

3. Continuitecroissante. Soit (An)n?N ? B, tel que A_n ? An+1, pour tout n ? N. Par

monotonie de u, on a u(An+1) > u(An), pour tout n ? N, et donc lim n?8

u(An) =

sup u(A_n) ? R+. On pose A = ?n?NAn et on definit la suite _(Bn)n?N par B0 = A0 et

n?N

B_n = An\An-1 pour tout n > 1 (noter que An-1 ? A_n). On a A = ?n?NAn = ?n?NBn, B_n ? B pour tout n ? N et B_n n B_m = Ø si n =6 m.

La ó-additivitede u nous donne

u(A) = u(U n?N			X Bn) = n?N	u(Bn) = lim n?8		Xn p=0	u(Bp)
donne	Pn p=0	u(Bp) = u(An) et donc u(A) = lim n?8			u(An).

Puis, comme A_n = ?ⁿp=0Bp, l'additivitede u (qui se deduit de la ó-additivite) nous

4. Continuitédécroissante. Soit (An)n?N ? B, tel que A_n+1 ? An, pour tout n ? N, et telle qu'il existe n0 ? N, u(A_n0) < 8.

Par monotonie, on a u(An+1) 6 u(An) pour tout n ? N et donc lim n?8

u(An) =

inf u(A_n) ? R+. On a aussi, par monotonie, u(A) 6 u(A_n), pour tout n ? N, avec

n?N

A = nn?NAn. Comme u(A_n0) < 8, on a aussi u(A_n) < 8 pour tout n > n0 et u(A) < 8. _On pose Bn = An0\An = An0nA^c_n ? B, pour tout n > n0. La suite (Bn)n>n0 est croissante (B_n ? Bn+1 pour tout n n0) et B = ?n.0Bn = ?n?n0An0\An = An0\ nn>n0 A_n = A_n0\A.

La continuitecroissante donne

u(An0\A) = u(B) = lim n?8 u(Bn) = lim n?8

u(An0\An) (1.6)

Comme A ? An0, on a u(A_n0\A) = u(A_n0) -u(A) _(car u(A) 6 u(A_n0) < 8, on utilise
ici la remarque a` la fin de la preuve de la monotonie). De màeme, comme A_n ? An0
(pour n n0), on a u(An0\An) = u(A_n0) - u(A_n) _(car u(A_n) 6 u(A_n0) < 8). En

utilisant une nouvelle fois que u(An0) < 8, on deduit de (1.6) que u(A) = lim n?8

u(An). 111

Une mesure u sur B est dite finie si u(E) < +8. Une probabilitésur B est une mesure sur B telle que u(E) = 1.

Soit (E, B,u) un espace mesure. On dit que A est négligeable s'il existe un ensemble B ? B tel que A ? B et u(B) = 0. Si toutes les parties negligeables sont mesurables, on dit que u est complete ou que (E, B, u) est complet.

Soit E un espace topologique, une mesure u sur B(E) est dite mesure borélienne sur E si elle est localement finie, c'est-`a-dire ; chaque x ? E admet un voisinage ouvert U_x tel que u(U_x) < +8. (voir [1, 5, 13] pour plus de details)

Soit u une mesure borelienne sur un espace topologique E. On dit que u est une mesure réguliere si pour tout B ? B(E) on a :

sup{u(F) : F ? B, F fermede E} = u(B)

= inf{u(O) : B ? O,O ouvert de E}

On peut consulter (Rudin [28, p. 303]) pour voir qu'une mesure u sur E est reguli`ere si et seulement si pour tout B ? B(E) et tout å > 0, il existe un ouvert O et un fermeF tels que F ? B ? O et

u(O) - å 6 u(B) 6 u(F) + å. (1.7)

Section 1.2

Mesure ext'erieure

D'efinition 1.2.1 On appelle mesure exterieure sur E, une application u* : P(E) -? R+ verifiant :

X u*(Ø) = 0. ® (ó-sous-additivite) u*( U nEN

An) 6 E nEN

u^*(An) pour tout {An}nEN ? P(E).

(c) (monotonie) A ? B u^*(A) 6 u^*(B).

Une partie A ? E sera dite u^*-mesurable (au sens de Caratheodory) si

VX ? P(E), u^*(X) = u^*(X n A) + u^*(X n A^c) (1.8)

En vertu de ®, A est u^*-mesurable si et seulement si

VX ? P(E), u^*(X) > u^*(X n A) + u^*(X n A^c) (1.9)

Th'eor`eme 1.2.2

Soit u* une mesure exterieure sur E. La collection M des parties u^*-mesurables forme une tribu sur E et la restriction de u* sur M est une mesure positive. De plus, l'espace mesure(E, M, _u*|M) est complet.

D'EMONSTRATION :

- Il est claire que Ø ? M et que A^c ? M, VA ? M.

- Soit A1, A2 ? M. Montrons que A1 n A2 ? M

Soit X ? M. En utilisant la u^*-mesurabilitede A1 et A2 et la ó-sous-additiviteon obtient :

u^*(X) = u^*(X n A1) + u^*(X n A^c₁)

= u^*(X n A1 n A2) + u^*(X n A1 n A^c ₂) + u^*(X n Ac 1 n A2) + u^*(X n Ac 1 n A^c ₂)

> u^e(X n A1 n A2) + u^*(X n [(A1 n A^c ₂) ? (A^c₁ n A2) ? (A^c₁ n A^c₂)])

> u^*(X n (A1 n A2)) + u^*(X n (A1 n A2)^c)

Alors A1 n A2 ? M. On conclut que M est stable par reunion finie et par intersection finie.

- Soit (An) une suite dans M deux a` deux disjoint. Posons A = U nEN		An. Montrons que
A ? M et u^*(A) = E nEN	u^*(An).

Soit X ? P(E). Comme A1 ? M, on a

u^*(X n (A1 ? A2)) = u^*((X n (A1 ? A2)) n A1) + u^*((X n (A1 ? A2)) n A^c₁) = u^*(X n A1) + u^*(X n A2)

Par recurrence, on obtient pour tout n :

u* X n

Ai) = u^*(X n Ai) (1.10)

ni=1

_[n
i=1

Donc, pour tout n :

>

_Pn
i=1

u*(X) > u^*(X n Sni=1 Ai) + u^*(X n (Uni=1 Ai)c) u^*(X n Ai) + u^*(X n A^c)

00

D'o`u u^*(X) > i=1 u* (X n Ai) + u* (X n A^c) > u* (X n A) + u* (X n A^c) d'après la ó-sous-

additivite de u*. Donc A ? M.

Il s'en suite que u* (X) = u* (X n A) + u^*(X n A^c). En prenant X = A, on obtient

00

u^*(A) = i=1 u^*(Ai). (1.11)

On vient donc de demontrer que M est stable par reunion denombrable disjointe et que u* est un mesure positive sur M.

- Reste a` demontrer que M est une tribu. Soit maintenant (B_n) une suite dans M. On pose A_n = B_n\ ?n¹ Bi. Alors ?nENAn = ?nENBn et donc ?nENBn ? M. On conclut donc que M est une tribu.

On vient de demontrer que M est une tribu et que u = ur_M est une mesure positive sur M.

- Montrons maintenant que (E, M, u) est complet. Pour cela, il suffit de montrer que pour tout A ? P(E) si u^*(A) = 0, alors A ? M.

Soit A ? P(E) tel que u^*(A) = 0. On a pour tout B ? P(E) :

u^*(B n A) + u^*(B n A^c) = u^*(B n A^c) 6 u^*(B)

d'o`u A ? M.

111

1.2.1 Prolongement d'une mesure

Le theorème de prolongement le plus celèbre et le plus utilisea etedemontrevers 1914 par Caratheodory, qui a` cette occasion a developpele concept important de mesure exterieure ou mesure de Caratheodory.

Th'eor`eme 1.2.3 (Carath'eodory)

Soient E un ensemble, A une alg`ebre sur E et u une mesure positve sur A. Soit u* : P(E) ? R+ definie par

8u^*(A) := inf { E u(A_n) : (A_n) suite dans A avec A ? U A_n (1.12)

n=1 n?N

Alors

1. u* est une mesure exterieure sur E avec u^*_|4 = u,

2. ó(A) ? M,

3. _u*|ó(A) est un prolongement de u en une mesure positive sur ó(A) (not'ee ue et appelee extension de Caratheodory de la mesure u).

D'EMONSTRATION : 1. Montrons que u* est une mesure exterieure. En effet : - u*(Ø) = u(Ø) = 0. - Si A ? A' clairement u^*(A) 6 u^*(A'). - Soit (An) une suite de partie de E. Posons A = U

An. Montrons que u^*(A) 6

n?N

E n?N

u^*(An).

Si pour un n, u^*(A_n) = +8, la formule est verifie. Supposons que pour tout n,
u^*(A_n) < +8. Soit 6 > 0 et pour chaque n, soit (B_n^k)k dans A tel que A_n ? U B_n^k

k

et E u(B^k_n) < u^*(A_n) + 6/2ⁿ. On a A ? U U B_n^k et donc

k n k

u* (A) 6 E E u(B^k_n)6E (* (A_n) + 6/2ⁿ) 6 E u^*(A_n) + 6.

n k n n

D'o`u u^*(A) 6 E n	u^*(An). Il est aisede voir que u^*|4 = u.
2. Montrons que A ? M. Soit A ? A et B ? P(E). A-t-on u^*(B) ?-. u^*(B n A) + u^*(B n A^c) ? Si u^*(B) = +Do, c'est 'evident. Supposons que u^*(B) < +Do. Soit å > 0 et (An)n dans A telle que B ? U n		An avec

E u(A_n) 6 u^*(B) + å. On a B n A ? U (A_n n A) et B n A^c ? U (A_n n A^c) donc

n n n

u^*(B n A) + u^*(B n A^c) 6 _En u(A_n n A) + En u(A_n n A^c)

= E_n(u(A_n n A) + u(A_n n A^c))

= E_n u(An)
6 u^*(B) + å

D'o`u u^*(B) > u^*(B n A) + u^*(B n A^c). Donc A ? M.

3. Comme M est une tribu qui contient A, on a ó(A) ? M. Comme u^*_|M est une mesure sur M (d'apr`es 1.2.2), ue = u*|:(A) est une mesure sur ó(A) qui est un prolongement de u en une mesure sur ó(A).

111

Comme nous l'avons vu, le th'eor`eme de prolongement de Carath'eodory et la Proposition 1.2.2 permettent de construire une tribu M sur laquelle la mesure ext'erieure u* est automatiquement ó-additive. Le crit`ere de Carath'eodory que nous allons voir plus loin, est une condition d'apparence relativement simple qui entraine que M contient la tribu bor'elienne. C'est le crit`ere que l'on utilise traditionnellement pour construire les mesures de Hausdorff dans 1[Iⁿ, que nous 'etudierons plus tard.

Soit E un ensemble quelconque. Une m'etrique d sur E est une application d : E×E ? IR+ v'erifiant pour tout x, y, z ? E :

0 d(x, y) = 0 ? x = y. 0 d(x, y) = d(y, x). 0 d(x, z) 6 d(x, y) + d(y, z).

Un espace m'etrique est un couple (E, d) o`u E est un ensemble muni d'une m'etrique d. S'il existe un hom'eomorphisme de E sur un espace m'etrique on dit que E est un espace m'etrisable.

D'efinition 1.2.4 Soit u* une mesure ext'erieure sur un espace m'etrique (E, d) :

- On dit que u* est une mesure ext'erieure bor'elienne si tout bor'elien est u^*-mesurable, i.e. B(E) ? M.

- Une mesure ext'erieure u* est de type m'etrique si pour tous A, B ? E tels que d(A, B) := inf{d(x, y)/x ? A et y ? B} > 0

on ait u^*(A U B) = u^*(A) + u^*(B).

Th'eor`eme 1.2.5 (Crit`ere de Carath'eodory)

Soit u* une mesure ext'erieure sur un espace m'etrique (E, d). Si u* est de type m'etrique, alors u* est bor'elienne.

D'EMONSTRATION :

Il suffit de prouver que tout fermeF C E est u^*-mesurable, i.e. verifie

VX E P(E), u^*(X) > u^*(X n F) + u^*(X n F^c)

On peut supposer u^*(X) < +cc. Posons X0 := {x E X : d(x, F) > 1} et

1 1

Xk := {x E X : k +1 d(x, F)

} k

Il est clair que d(Xk, Xk+2) > 0, pour tout k, par consequent

Xm j=0	m u^*(X2j) = u^*(U j=0		X2j) 6 u^*(X) < +cc,
ce qui entraine en particulier que la serie		P8 j=0		u^*(X2j) converge. De même	P8 j=0	u^*(X2j+1)

converge. Notons P_m := U²k^m4¹Xk = (U^mj=0X2j) U (U^mj=0X2j+1). Observons que X n F^c = P_m U _(U8k=2m+2Xk) puisque F est ferme.

Donc u^*(X n F^c) 6 u^*(Pm) +

P8 k=2m+2

u^*(Xk), et comme u^*(Xk) converge, on a

u^*(X n F^c) 6 lim u* (P_m).

m?+8

D'autre part, comme d(P_m, X n F) > 0 on a

u^*(X n F) + u^*(P_m) = u^*((X n F) U P_m) 6 u^*(X). Ces deux inegalites entrainent

u^*(X n F) + u^*(X n F^c) 6 u^*(X n F) + lim u* (P_m) 6 u* (X).

m?+8

111

1.2.2 Exemples de mesures ext'erieures

Voici quelques exemples de mesures et de mesures exterieures qui seront utilises dans la suite du document :

Exemple 1.2.6 Mesure de comptage :

irg. Elle est aussi une mesure ext'erieure

Pour tout sous-ensemble A de Rⁿ, La mesure de comptage n'est autre que la fonction «cardinal» de A, a` valeurs dans N ? {+8}.

Exemple 1.2.7 Mesure ext'erieure de Lebesgue dans R :

La mesure ext'erieure de Lebesgue, ou longueur, d'une partie A de R est d'efinie comme l'infimum des sommes des longueurs des intervalles recouvrant A :

i=1 i=1

L¹(A) := inf {E(bi - ai) : A ? U]ai, bi[ (1.13)

Pour les intervalles ferm'es ou ouverts, on a L^1(]a, b[) = L^1([a, b]) = b-a. Si A =U i		[ai, bi]
des intervalles finies (d'enombrables) disjoints, on a L^1(A) = E i	(bi - ai).

Exemple 1.2.8 Mesure ext'erieure de Lebesgue dans Rⁿ :

Si A = {(x1, . . . ,x_n) ? Rⁿ : ai 6 xi 6 bi}, le n-dimensionelle volume de A est donn'e par

volⁿ(A) = (b1 - a1)(b2 - a2)
·
·
· (bn - an). On d'efinit alors la mesure ext'erieure de Lebesgue dans Rⁿ par

{ L^n(A) = inf vol^n(Ai) : A ? U Ai i=1 i=1

(1.14)

Exemple 1.2.9 Restriction d'une mesure :

Soit u une mesure dans Rⁿ et E un sous-ensemble bor'elienne de Rⁿ. On d'efini une mesure í dans Rⁿ s'appelle la restriction de u sur E, par í(A) = u(E n A) pour tout ensemble A.

Nous verrons dans le chapitre suivant les mesure de Hausdorff qui sont essentielles dans l''etude des fractals.