CHAPITRE 3
DIMENSION TOPOLOGIQUE
«Dimension nf.(latin dimensio) 'Etendue mesurable d'un
corps dans tel ou tel sens»
-Larousse 2003-
Pour définir la dimension topologique, nous avons besoin
de rappeler quelques notions sur les espaces topologiques.
Un espace topologique E est dit T0-espace si pour tout x, y E E,
x =6 y, il existe un ouvert contenant uniquement un des deux points et pas
l'autre.
Il est dit T1-espace si pour tout x, y E E, x =6 y il existe
deux ouverts U et V tels que x E U, y E/ U, x E/ V et y E V . Autrement dit, si
pour tout x E E, on a {x} est un fermé. Il est clair que tout T1-espace
est un T0-espace.
Un espace topologique E est dit T2-espace ou espace de
Hausdorff1 si pour tout couple (x, y) de points distincts, il existe
deux ouverts disjoints U et V contenant respectivement x et y. Il est clair que
tout T2-espace est un T1-espace.
De plus, E est dit regulier si, pour tout x E E et pour tout
ferméF C E tel que x E/ F, il existe deux ouverts U et V tels que x E U,
F C V et U n V = 0. S'il est T1- espace et régulier, on dit que E est
T3-espace. Il est clair que tout T3-espace est un T2-espace.
Un espace topologique E est dit compl`etement regulier si, pour
tout x E E et pour tout ferméF C E tel que x E/ F, il existe une
fonction continue f : E -+ [0,1] telle que
1. Que certains auteurs appellent «espace
séparé».
1 1
f (x) = 0 et f (y) = 1 pour tout y E F. Comme U = f-1([0,
2 [) et V = f -1(] 2, 1]) sont deux
ouverts de E et x E U, F C V avec UnV = 0, tout espace
completement regulier est regulier.
On dit que E est T31 2-espace ou espace de
Tychonoff s'il est T1-espace et completement regulier.
Proposition 3.0.20 Soit E un espace topologique. On a alors :
T3 1 2 = T3 = T2 = T1 = T0.
Soit E un espace topologique. On appelle recouvrement ouvert
de E une famille (Oi)i?I de parties ouvertes de E telles que E = Ui?IOi.
Si (Oi)i?I et (O0j)j?J sont des recouvrements de E, on dit que
(O j)j?J est un rafinement de (Oi)i?I si
Vj E J,?i E I, tel que O0 jC Oi (3.1)
Un recouverement (Oi)i?J de E est dit
sous-recouvrement d'un autre recouvrement (Oi)i?I de E si J C I. En
particulier, chaque sous-recouvrement est un rafinement.
Un espace topologique E est dit compact si E est un espace de
Hausdorff et de tout recouvrement ouvert de E on peut extraire un
sous-recouvrement fini.
Un ensemble A d'un espace topologique E est dit
fonctionnellement ferm'e si A = f-1(0) pour une certaine
fonction continue f : E [0, 1]. Clairement, tout ensemble fonctionnellement
fermeest un ferme.
Le complementaire d'un ensemble fonctionnellement fermede E
s'appele fonctionnellement ouvert. Clairement, tout ensemble fonctionnellement
ouvert est un ouvert. La reunion denombrable et l'intersection finie
d'ensembles fonctionnellement ouverts sont des fonctionnellement ouverts. (voir
[7] pour plus de details)
On appelle recouvrement fonctionnellement ouvert (resp.
ferm'e) d'un espace topologique E toute famille de fonctionnellement ouverts
(resp. fermes) de E qui est un recouvrement de E.
Rappelons qu'une base d'un espace topologique E est une famille
d'ouverts B de E tel que pour tout ouvert U de E, il existe une sous
famille B' de B tel que U = U B.
B?B0
? Tout espace z'ero-dimensionnel est un
Tq i -espace
Un espace topologique E est dit zéro-dimensionnel si E est
un Ti-espace non vide et admet une base de parties a` la fois
ouvertes et fermées (clopen en anglais).
Un espace topologique E est dit fortement
zéro-dimensionnel s'il est de Tychonoff non vide et tout recouvrement
fini fonctionnellement ouvert {Ui}16i6k de E contient un rafinement ouvert fini
tel que vinVj = Ø si i L j. Il est claire que le rafinement m
contient des parties a` la fois ouvertes et fermées. On
conclut que tout espce fortement zérodimensionnel est un espace
zéro-dimensionnel.
Soit F une famille de parties d'un ensemble E. Un ordre d'une
famille F est le plus grand entier n tel que la famille F contient n+1
ensembles avec intersection non vide ou «+8» s'il n'existe pas
d'entier. Par covention, une famille est d'ordre -1 si elle est vide. Il est
clair qu'elle est d'ordre 0 si elle contient des ensembles deux a` deux
dijoints. L'ordre d'une famille F est notépar ordF.
D'efinition 3.0.21 (Dimension topologique) Soit E un espace de
Tychonoff et soit n un entier > -1, on dit que :
? dimTE = -1 si E = Ø.
? dimTE = 0 si E est un espace fortement
zéro-dimensionnel.
? dimTE 6 n si tout recouvrement fini fonctionnellement ouvert O
de E admet un rafinement fini fonctionnellement ouvert O' avec ord O' 6 n.
? dimTE = n si dimTE 6 n et l'inégalitédimTE 6 n -
1 n'est pas vérifié. ? dimTE = +8 si
l'inégalitédimTE 6 n n'est pas vérifiépour tout
n.
Le nombre dimTE s'appelle dimension topologique de
Cech-Lebesgue de l'espace E.
Remarque 3.0.22
- Le nombre dimTE est un entier > -1.
- Si E et F deux espaces homéomorphe, alors dimTE =
dimTF.
- Si M un sous-espace de E alors dimTM 6 dimTE.(voir [7] pour
plus de détails)
Nous nous restreindrons dans la suite de ce document a`
l'étude de la dimension topologique sur les espaces métrisables
seulement. On peut alors définir la dimension topologique de la
facons suivante :
BELLAL ? LEs FRAcTALs ET LEuR GgoMgTRiE ?
BENTERKI
D'efinition 3.0.23 Soit E un espace m'etrisable a` base
d'enombrable. On d'efinit la dimension topologique de E par
r'ecurrence :
? dimTE = --1 si E = O.
? dimTE = 0 si sa topologie admet une base de parties a` la
fois ouvertes et ferm'ees, soit encore une base de parties a`
fronti`ere vide (ou de dimension -1). On dit aussi que E est
totalement discontinu.
? dimTE .<, n si sa topologie admet une base
d'ouverts a` fronti`ere de dimension au plus n -- 1.
? dimTE = n s'il est de dimension au plus n mais n'est pas de
dimension au plus n -- 1. ? dimTE = +oo s'il n'existe pas de
n tel qu'il soit de dimension au plus n.
Exemple 3.0.24
? Les points sont de dimension topologique 0.
? Les courbes sont de dimensions topologique 1.
? La dimension topologique d'une surface est 2.
? La dimension topologique d'un volume est 3.
Exemple 3.0.25 Poussi`ere de Cantor :
La dimension topologique de poussi`ere de Cantor est 0.
FIGURE 3.1 - Premières étapes de la construction
du Poussière de Cantor
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