étude du comportement de la flèche d’un matériau composite en vibration et simulation sous Matlab.

2.2. Vibrations en flexion pure des poutres orthotropes

L'équation qui décrit les déplacements dus aux vibrations en flexion dans une poutre est :

_{D w}

_{11 0 0}

_{4 2}

(2.11)

_s

_{D E} I ? + _ ?

_{X E I}

_{11 L xy} ?

_{f f} ( 1 _f ) _{m xy}

? _{X E}

? 2 ? ?

?

La solution générale recherchée de cette équation est de la forme :

_{p b b}

_s

a _{4 2}

_{X a T} (2.12)

? 2 ₄ . _T ? 2 . ₀

_X ?

_{a x a t}

En posant : (2.13)

En reportant (2.12) dans (2.11), il vient : (2.14)

Chapitre 2 : Formulation théorique de l'équation de comportement de la flèche en vibration de flexion d'un composite

En effectuant une séparation de variables dans (2.14), il vient : ??4 2 X ?? X ? ? ? x ?						(2.15)
D'où le système :			4 2 ??? ? ? ^2T ? 2 T 0 ? ? ?t2 ? ? 2 T ? 0	0	(2.16)
Avec :	? ? ?	0 1 2 3 4 T(t) = a sin wt + b cos wt (2.25) ? X (0) ? 0 X"(0) ? 0

_{I B} + _B = ₀

_{2 4}

?? -- _B + _B = ₀

_{2 4}

(2.26)

? Conditions aux limites :

En :

23

Résolution de l'équation (2.16a)

Soit : (2.16a)

Posons : (2.17)

La solution de (2.16a) est de la forme : (2.18)

En reportant (2.18) dans (2.16a), il vient : (2.19)

D'où : ; ; ; . (2.20)

(2.18) devient : (2.21)

Or : et (2.22)

(2.21) devient équivalent à : (2.23)
à déterminer avec des conditions aux limites.

Résolution de l'équation (2.16b) :

? 2 T ₂ ? _{t x} ? ₀

Nous avons : (2.16b)

La solution de (2.16b) est de la forme : (2.24)

Donc, il nous vient à expliciter les équations (2.23) et (2.24) en fonction des conditions aux limites.

2.2.1. Cas d'une poutre orthotrope en appuis simples (AA)

B 2 ? B 4 ? ₀

Figure 2.9 : Schéma d'une poutre en appuis simples sur ses deux extrémités ? ?

_w ( _x , _t ) = _X ( _x ) _T ( _t )

_X(x) = _{B sin 2 x} + _{B cos 2 x} + _{B sinh 2 x} + _{B cosh 2 x}

Chapitre 2 : Formulation théorique de l'équation de comportement de la flèche en vibration de flexion d'un composite

En :

(2.27)

(2.135) et (2.135) sous forme matricielle, donne :

(2.28)

Pour , nous avons : (2.29)

Il vient : (16) ; (2.30)
? Fréquence angulaire :

_{w 0( x ,0)}

(2.30) dans (2.17) : (2.31)

? Déformée modale :

1

_{w x} = _Ø 0 ( _,0) D _{m m}
? ? _{w x} =
Les relations (2.27) et (2.23) permettent d'écrire : 0 ( _,0) = _{C ?Ø 0 m m}

(2.32)

En posant : , la déformée modale (2.33)

Il vient : (2.34)

^a _{m ,r n ,r} [ =

_a / _{2; n m}

j _{sin x sin xdx} = ?

_{a a} ? ~

_{0; n m}

D'où : (2.35)

Avec : ; (2.36)

Déterminons et à partir des conditions de stationnarité :

? ? ?

_{C 0}

_{a a}

_n ? _m ? _n ?

_{w x xdx D}

0 ( _,0)sin ? ? _{sin x sin xdx}

_{a a a}

_{0 0}

?

2 ^a

_D ? ? _{w x}

_m ? xdx

_{a a}

₀

A

0 ( _,0)sin

_{m m} (2.37)

0 Or les déformées modales sont orthogonales, et : q 0 3 2 3 w x 0 ( ,0) ? ( x ? 2 ax ? a ) x

(2.38)

_m

Donc :

(2.39)

Où est la déformée en statique.

Pour une poutre orthotrope en appuis simples, nous avons :

_{q m} ?

_{0 3 2 3}

_D ? f ?

( _{x 2 ax} ? _a ) _{x sin xdx}

(2.40)

24

_a

Il vient :

(2.41)

Chapitre 2 : Formulation théorique de l'équation de comportement de la flèche en vibration de flexion d'un composite

· Equation de comportement de la flèche : Donc pour une poutre en appuis simples, nous avons :

(2.42)

Avec : ; (2.43)

1 7nTi n

_[A][B] =[ 0] (2.49)

Et : (2.44)

Cette équation de la flèche justifie le fait que, tous les modes se superposent au cours de la vibration d'une structure. Le mode fondamental correspond à m=1, de fréquence angulaire :

_{B B}

2 + 4

(2.45)

2.2.2. Cas d'une poutre orthotrope encastrées sur ses deux extrémités (EE) I L

_{w (x, t)} = _X(x)T(t)

_X(x) = _{B sin 2x+B cos 2x+B sinh2x+B cosh 2x}

_{1 2 3 4}

Figure 2.10 : Schéma d'une poutre encastrée sur ses deux extrémités

_{T(t)=asin at+b cos at}

_{l2 (B1 cos2a-B2 sin 2a+B3 cosh 2a+B4 sinh2a)}

Avec :

? I?

0

(2.46)

· Conditions aux limites :

_?X(0) = ₀

En :

_t

X'(0)=0 _{??/1,( -B1 +B3)}

_I?

₀

₀

_{B2? ?B4}

?

(2.47)

_B1

_B3

_B1

_r

_{sin 2a+B2 cos 2a+B3 sinh2a+B4 cosh2a} = ₀

₌₀

_?X(a)?0

En : tr(a)?0

(2.48)

(2.47) et (2.48)

sous forme matricielle, donne :

?^0 1 0 1?^B1??^0? ? ? ? ? ? ? ? ^0? 0 ? ? ? ? ^B0 ??? ^2 ? ^sin? ^a^cos? ^a^sinh? ^a^cosh ?aB ? ? ? ? ? ^0 ^3 ? ? ? ? ? ? ? ^?cos ?a?^?sin ?a ?cosh ?a ?sinh?a??^B4??^0? Pour [BIT * 0, nous avons : det(A) ? 0

Il vient : _{cos A,a} cosh Act=1 (2.50) Ani = _(m + 0.5)n-; ;mE

(2.51)

_a

· 25

Fréquence angulaire :

Chapitre 2 : Formulation théorique de l'équation de comportement de la flèche en vibration de flexion d'un composite

(2.51) dans (2.17) : (2.52)

· Déformée modale :

(2.48b), devient : (2.53)

D'où : (2.54)

sin 2a -- sink A,a

Il vient, pour le mode m :

(2.55)

Et : (2.56)

En posant : (2.57)

Il vient pour le déplacement transversal :

? ₀₍ ,) ?

(2.58)

Déterminons et

A t=0 jrw°(x'O)~~m (2.59)

m _{?m ?0}

C m

_{(n+0.5)ir (m+0.5)ir (n+0.5)ir}

? ? =

_{w0 (x,0)sin xdx} = D f _{sin x sin xdx}

₀ a _{o a a}
2 ^a

₀

_[af

(2.60)

Or les déformées modales sont orthogonales, et :

^a sin ^(m+0.5* _x sin ^(n+0.5* xdx

_{0 a a}

_[a/2;n=m

_j0;

_J

_n#m

(2.61)

_xdx

₀

Donc : _D ? _{?w0 (x,0)sin ?m}

_a

(2.62)

26

Où est la déformée en statique.

Pour une poutre orthotrope en appuis simples, nous avons : w0 (x,0) ? q0 (x2? 2ax ? a2 )x2 24D11 a Il vient : D ? q0 ? (x2 ? 2ax ? a2 )x2 sin mir 12aD11 0 a

(2.63) (2.64)

· Equation de comportement de la flèche :

Donc pour une poutre en appuis simples, nous avons :

_{w0(x, t)} ? _{E Dm} cos ?mt?m (x)(2.65)

_m

Chapitre 2 : Formulation théorique de l'équation de comportement de la flèche en vibration de flexion d'un composite

Avec : (2.66)

12aD11 0

Où : ; (2.67)

	;		· ' "" Et :

(2.68)

Cette équation de la flèche justifie le fait que, tous les modes se superposent au cours de la

vibration d'une structure. Le mode fondamental correspond à m=1, de fréquence angulaire :

?

?

_B ? _?B

_{2 4}

(2.69)

2.2.3. Cas d'une poutre orthotrope encastrée et libre (EL) _{w (x, t)} = _X(x)T(t)

_X(x) = _{B sin 2x+B cos 2x+B sinh2x+B cosh 2x}

_{1 2 3 4}

?

Figure 2.11 : Schéma d'une poutre en appuis simples sur ses deux extrémités I L

_{T(t)=asin at+b cos at}

X'(0)=0 _{ItA,(-B1 +B3)}

? I

_{(-B1 cos A,a+B2 sinA,a +B3 coshA,a+B4 sinhA,a)}

Avec :

? I?

0

(2.70)

· _r

₀

₀

?

Conditions aux limites :

?

_B1

_B3

_{B2 +B4}

_?X(0) = ₀

(2.71)

En :

?

?

?

?

?

_{A,2 (-B1 sin A,a} - _{B2 cos A,a} + _{B3 sinh A,a} + _{B4 cosh A,a)}

En :

₌₀

(2.72)

_I1A,3

_X"(a)?0

₌₀

_X"'(a)?0

27

(2.71) et (2.72) sous forme matricielle, donne :

?^0 1 0 1? ? ^B1??^0? ? ? ? ? ? ? ^?0? ^0? ?B2 ? 0 ^2 2 2 2 ? ?? ^sin? ^a?? ^cos?a? ^sinh? ^a? ^cosh ?aB ? ? ? ? ? ^0 ^3 ? ? ? ? ? ? ^3 3 3 3 ??? ^cos?a? ^sin? ^a? ^cosh? ^a? ^sinh?a ^??^B4?^?0?

[A][B] =[o](2.73)

Pour [BIT * 0 , nous avons : det(A) = 0 (2.74)

Il vient : _{cos Act} cosh il a = -1 (2.75) _Am = _(m - 0.5) g ; (2.76)

· Fréquence angulaire :

Chapitre 2 : Formulation théorique de l'équation de comportement de la flèche en vibration de flexion d'un composite

(2.17) dans (7) :wm= · Déformée modale :

2 _ (2.77)

Par un raisonnement analogue au précédent, il vient, pour le mode m :

[ _a/2;n=m

(2.78)

Et : (2.79)

En posant : (2.80)

Il vient pour le déplacement transversal :

(2.81)

Déterminons et

_a

_{w x xdx} ? _D

0 ( ,0)sin ? _{sin x sin xdx}

_{0 0}

At=01 2 ^a

mTin a a a ? x3-4ax-18a2?x2

(2.82)

?n?0.5?? ^a _{?m?0.5?? ?n?0.5??}

_m

₀

?

?

? Cm

?

(2.83)

Or les déformées modales sont orthogonales, et :

asin(m-0.5) 7rxsin(n-0.5)7rxdx

_{0 a a}

_{j0; n} # _m

_J

(2.84)

_xdx

₀

Donc : _D ? _{?w0 (x,0)sin ?m}

_a

(2.85)

28

Où est la déformée en statique. Pour une poutre orthotrope en appuis simples, nous

12aD11 ₀

avons :	q0 __ w0 (x) 24D11	a			(2.86)	Il vient : D = q0 f (x3-4ax-18a2)x2
Om (x)dx (2.87)

· Equation de comportement de la flèche :

Donc pour une poutre encastrée-libre, nous avons :

_w0(x,t) ? _?Dm cos ?mt?m(x)(2.88)

_m

_a

Avec : _Dm = q0 f (x3 -- _4ax --18a2) x²O_m (x)dx (2.89)

_12aD110

sinh Am -- sin Am Où : Om(x)= (cosh ilmx-- cos flmx)--ym(sinhilmx-- sin ilmx) ; 7m = COSh iim + cos m

;(2.90)

29

Chapitre 2 : Formulation théorique de l'équation de comportement de la flèche en vibration de flexion d'un composite

Et : (2.91)

Cette équation de la flèche justifie le fait que, tous les modes se superposent au cours de la vibration d'une structure. Le mode fondamental correspond à m=1, de fréquence angulaire :

(2.92)