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Emergents spontanés d'une analyse praxéologique

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par Abderrazak Chaouachi
Université de Tunis - Mastère de didactique des mathématiques 2009
  

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Chapitre III : Partie analytique

III-1. Analyse transpositive

Dans cette partie, nous allons présenter quelques éclairages à propos du passage entre le savoir savant et le savoir à enseigner selon les activités proposées dans le chapitre « Initiation aux graphes » du livre scolaire de troisième année section économie et gestion. Le nouveau programme de l'enseignement des mathématiques4(*) met en avant des compétences liées à la résolution des problèmes, notamment :

- Pratiquer une démarche mathématique qui consiste à chercher d'abord, expérimenter et formuler une conjecture ensuite et enfin réaliser une démonstration.

- Communiquer dans un langage mathématique

- Résoudre un problème par la modélisation d'une situation en rapport avec l'environnement de l'apprenant puis par la mobilisation du savoir approprié.

- Utiliser les TIC.

La démarche préconisée par ce programme consiste à émettre des conjectures en utilisant le type de raisonnement approprié, produire des chaînes de raisonnements déductifs afin de prouver un résultat sinon produire un contre exemple pour montrer qu'une assertion est fausse, élaborer une stratégie pour résoudre un problème et, enfin, valider la solution d'un problème. Dans la page 39, le programme officiel considère que la théorie des graphes est une partie de l'algèbre et il n'est mentionné que : « Théorie des graphes : sommets, arêtes, nombre chromatique, ordre d'un graphe, théorème d'Euler, chaînes, algorithme de Dijkstra ». Après cela, on trouve mentionnées quatre aptitudes dont trois concernent la théorie des graphes. Cela pourrait donner lieu à des interprétations diverses que ce soit de la part de ceux qui ont produit le livre scolaire ou de la part des enseignants. Pour saisir la nature de l'objet d'enseignement, nous allons procéder à une comparaison entre le savoir savant présenté ci-dessus et le savoir à enseigner tel qu'il émerge de l'analyse du contenu du chapitre «Initiation aux graphes ». Nous estimons, en effet, que mettre le doigt sur les différences entre le savoir savant et le savoir à enseigner, qui nous préoccupent dans notre recherche, nous met en mesure d'avoir un éclairage quant à la vraie intention de l'institution transpositive sur la nature de l'objet de l'enseignement. CHEVALLARD (1998), dans son article intitulé : Pourquoi la transposition didactique ?, dit en substance : « Au sens restreint, la transposition didactique désigne le passage du savoir savant au savoir enseigné. Or, c'est la confrontation de ces deux termes, à la distance qui les sépare, au-delà de ce qui les rapproche et impose de les confronter, que l'on peut le mieux saisir la spécificité didactique du savoir. ». Cette comparaison va s'étayer sur des éléments objectifs tirés d'un côté du savoir savant présenté et de l'autre côté par le contenu du livre scolaire. Lequel contenu se compose essentiellement d'activités, d'exercices, de définitions et de propriétés énoncées (avec ou sans preuve). En plus, nous allons mettre la lumière sur les notions utilisées et non institutionnalisées telles que : les graphes isomorphes, les sous graphes, etc. Nous n'avons pas analysé les activités utilisant les TIC ni les exercices et problèmes car ils sortent du cadre de notre étude. Comme nous l'avons déjà signalé, le programme officiel n'est pas très explicite ni sur le contenu de cette unité d'apprentissage ni sur les aptitudes à développer. Nous sommes, donc, dans l'obligation de n'étayer nos déductions que sur la base de notre lecture du livre scolaire. L'examen des tableaux 3, 4 et 5 qui vont suivre permet de déduire l'effet de la transposition didactique externe. Cet effet se traduit, selon nous, par un quintuple dessein :

- Centrer les activités sur les modélisations de situations ayant une relation directe avec le milieu social de l'élève.

Par exemple, l'activité 1 de la page 85 traite une situation de gestion de conflit où l'élève est dans une situation de résolution d'un problème de maximisation du nombre d'invités.

- Privilégier les techniques utilisant les caractéristiques du graphe : degrés des sommets, ordre d'un graphe, etc.

L'activité 4 est un exemple illustrant le recours à de telles techniques. En effet, pour prouver que deux graphes représentent la même situation, il fallait d'abord déterminer les degrés des sommets, les ordres des sous graphes complets, etc.

- Faire découvrir par l'élève, au fur et à mesure, certaines caractéristiques importantes des graphes pouvant servir comme plateforme de résolutions de certains problèmes intéressants, notamment concernant les circuits, le plus court chemin et les gestions de conflits.

L'exemple donné par l'activité 3 de la page 89 permet à l'élève d'explorer les circuits et en exhiber ceux qui sont eulériens à partir d'une caractéristique énoncé dans le théorème d'Euler.

- Eviter de donner un exposé classique de cette unité d'apprentissage et, surtout, ne pas céder à la tentation des démonstrations inutiles des théorèmes.

La démonstration du théorème d'Euler peut être expliquée aux élèves. Cependant, et vue qu'il s'agit d'une initiation aux graphes à des élèves de la section économie et gestion, il n'est pas utile de céder à la tentation de le prouver.

- Donner une présentation fonctionnelle des algorithmes, étant donné que les élèves n'ont pas l'habitude de traduire un algorithme écrit sous sa forme usuelle en un discours fonctionnel.

L'algorithme de Moore-Dijkstra est le suivant :

Tant que faire :

On détermine les sommets tels que l'arc qui relie soit un élément de E. On prendra :

.

On garde l'arête qui a permis d'avoir ce minimum. On choisit un nouveau sommet tel que et on posera : .

Les élèves ne peuvent pas mettre en application cet algorithme mis sous cette forme qui utilise une forme itérative « Tant que.... » assez complexe.

Cependant, nous avons pu remarquer que le théorème (affirmant que dans chaque graphe d'ordre supérieur ou égal à 2 a au moins deux sommets de même degré) n'est pas institutionnalisé mais présenté sous la forme d'un exercice (page 87). En outre, l'importance accordée à l'explication de l'algorithme de Moore-Djikstra (auquel les auteurs ont consacré six pages !) est, à notre sens, exagérée et peut induire en erreur enseignants et élèves quant à sa mise en application. En effet, certains peuvent penser qu'il faut, à chaque fois, plusieurs pages pour utiliser convenablement cet algorithme.

Dans les tableaux 3, 4 et 5 qui vont être présentés dans les pages qui suivent, nous consignons d'un côté les notions mathématiques telles que nous avons présentées dans le chapitre II et, en face, les notions telles que présentées dans le manuel scolaire. Dans la confrontation entre le savoir savant et le savoir à enseigner, que nous allons présenter dans les trois tableaux ci-dessous, nous allons respecter le découpage en paragraphes adopté par les auteurs du livre scolaire, à savoir :I-Notion de graphe, II-Coloriage d'un graphe, III-Recherche d'une plus courte chaine, afin de mieux suivre le passage entre le savoir savant et le savoir à enseigner selon l'interprétation donnée par les auteurs du livre scolaire.

I-Notion de graphe :

Notion mathématique dans le savoir savant

Savoir à enseigner

1- Représentation d'une situation :

a-Définitions (d'un graphe, de sommet, d'arête, de l'adjacence) formelles s'appuyant sur le concept de relations dans un ensemble. On présente la définition d'un graphe orienté, comme cas général, avant celle du graphe non orienté comme un cas particulier.

1- Représentation d'une situation :

a-Définitions (d'un graphe, de sommet, d'arête, de l'adjacence) utilisant le langage vernaculaire et étayées sur l'ostension d'un exemple de l'activité 1 de la page 85. On présente un exemple de graphe non orienté et on dit « voici un graphe non orienté et voilà les sommets et les arêtes». On observe l'amalgame entre un graphe et son schéma (page 85).

b-Types de graphes : planaires, bipartis, multi-graphes, complets, stables.

b-Types de graphes : Seuls les graphes complets sont présentés dans le texte. La définition est la même que dans le savoir savant.

c-Sous graphes, graphes partiels

c-Sous graphes, graphes partiels : Les sous graphes sont seulement évoqués et non institutionnalisés. On ne parle pas de graphes partiels.

d-Graphes isomorphes : La définition utilise deux bijections, l'une entre les sommets et l'autre entre les arêtes correspondantes.

d-Graphes isomorphes : Cette appellation n'est pas indiquée dans le texte, on utilise plutôt « graphes qui décrivent la même situation » et on utilise, à la place des deux bijections, une correspondance : sommet-sommet, arête- arête sans parler de bijections.

2-Lemme des poignées de mains : Ce lemme est donné dans un langage formel mais aussi en langage vernaculaire.

2-Lemme des poignées de mains : L'énoncé est donné en langage vernaculaire seulement. L'activité 1 de la page 87 est destinée à amener l'élève à conjecturer à partir de quatre exemples. Pas de démonstration.

3-Circulation sur un graphe :

-Définitions de :chaîne, chaîne fermée, longueur de chaîne, cycle, chaîne eulérienne, cycle eulérien sont présentés soit dans un langage formel soit en langage vernaculaire.

-Définition de la connexité d'un graphe par une relation d'équivalence et classe d'équivalence mais aussi en langage vernaculaire.

-Théorème d'Euler avec démonstration.

3-Circulation sur un graphe :

-Les définitions de :chaîne, chaîne fermée, longueur de chaîne, cycle, chaîne eulérienne, cycle eulérien sont faits à partir d'exemples et présentés en langage vernaculaire.

-Définition de la connexité d'un graphe utilisant le langage vernaculaire et aussi utilisant l'expression : « d'un seul tenant ».

-Théorème d'Euler s'introduit d'abord à partir d'exemples simples de l'activité 3 de la page 89 puis institutionnalisé sans démonstration.

Tableau 3

II-Coloriage d'un graphe :

Notion mathématique dans le savoir savant

Savoir à enseigner

-Définitions du coloriage d'un graphe, du nombre chromatique.

-L'activité 1 de la page 91 permet de comprendre l'intérêt du coloriage d'un graphe et le champ d'application du coloriage.

-Mêmes définitions du coloriage d'un graphe, du nombre chromatique.

-Définitions du nombre chromatique d'un graphe complet, d'un cycle et d'un graphe biparti.

-Le nombre chromatique d'un graphe complet utilisant la même définition est étudié dans l'activité 4 de la page 93.

-Le nombre chromatique d'un cycle est évoqué dans l'activité 5 de la page 93.

-Le nombre chromatique d'un graphe biparti n'est pas à enseigner.

-Comparaison du nombre chromatique d'un graphe avec ses sous graphes.

-L'activité 6 de la page 93 étudie la comparaison du nombre chromatique d'un graphe avec ses sous graphes sur un cas général.

-Encadrement du nombre chromatique.

-Encadrement du nombre chromatique à partir d'exemples, donc sans démonstration. On étaye cet encadrement sur deux activités : l'activité 6 de la page 93 pour sa minoration et l'activité 7 de la page 93 qui présente un cas pour sa majoration.

-Algorithme de Walsh et Powell

-Algorithme de Walsh et Powell : même présentation en langage vernaculaire.

La mise en oeuvre de cet algorithme est faite sur des exemples de l'activité 2 de la page 92.

-Le cas particulier qui montre que cet algorithme ne donne pas toujours le nombre chromatique est donné dans l'activité 3 page 92.

Tableau 4

III-Recherche d'une plus courte chaîne:

Notion mathématique dans le savoir savant

Savoir à enseigner

-Définitions : d'un arbre, d'une forêt

-Les définitions concernant l'arbre, la forêt ne sont pas à enseigner.

-Définition de graphe pondéré en langage formel où la pondération peut être un réel positif ou négatif.

-La définition de graphe pondéré n'est pas présentée dans un langage formel mais en langage vernaculaire et le coefficient de pondération est un réel positif.

-Les définitions du poids d'une chaîne et d'une plus courte chaîne sont données en langage formel.

-Les définitions du poids d'une chaîne et d'une plus courte chaîne sont données en langage vernaculaire.

-La proposition concernant les sous chemins d'une plus courte chaîne est démontrée

-La proposition concernant les sous chemins d'une plus courte chaîne est évoquée mais pas institutionnalisée.

Cette proposition n'est pas a démontrer.

-L'algorithme de Moore-Djikstra est présenté dans un langage formel apprêté pour sa traduction en langage programmable.

-L'algorithme de Moore-Djikstra est expliqué en détail sur un exemple :pages 97-102 (six pages). Le résultat final qui a une structure d'arborescence est à signaler sans parler d'arborescence.

-Aucun texte présentant l'algorithme n'est donnée.

Tableau 5

* 4 Livre intitulé : Programmes de mathématiques 3ème et 4ème de l'enseignement secondaire (septembre 2006) , pp3-6

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