I.4 Mesure de crise et modèles
économétriques
I.4.1 Mesure de la crise financière actuelle
à l'aide d'un indice de crise
Une période de crise est caractérisée par
la nervosité du marché et une forte variation des prix
d'où la nécessité de valider des mesures pour
caractériser cette nervosité. Puisque, selon Michel et Maillet
(2002), les mesures traditionnelles de volatilité présentent
beaucoup de désavantages, une nouvelle mesure a été
introduite pour les marchés financiers comme moyen pour quantifier les
crises et mesurer leurs amplitudes.
En se basant sur l'approche de Zumbach et alii (2000), Michel
et Maillet (2002) ont proposé l' « Index of Market
Shocks » (IMS) qui était
une mesure construite par analogie avec l'échelle de richter qui mesure
l'intensité des tremblements de terre.
a) L' Index of Market Shocks: IMS
Selon les études effectuées par Maillet et
Michel(2003), nous avons constaté que l'indice IMS présente des
avantages par rapport aux mesures traditionnelles. Ainsi, ces dernières
ne permettent pas de capter parfaitement les comportements et les horizons
hétérogènes des intervenants sur le marché. De plus
cet indice ne dépend pas du choix d'une fréquence d'observation
particulière et tient compte de la discontinuité de la cotation
durant la nuit et de la corrélation entre les volatilités.
Michel et Maillet (2002) ont proposé, dans leur
étude effectuée sur les échantillons français et
américains (CAC40 et Dow Jones), l'existence d'une crise quand la valeur
de l'IMS est supérieure à 3.
b) Construction de l'indice de crise
(IMS)
L'échelle de Guttenberg-Richter repose sur la loi
empirique donnant la probabilité d'observer un tremblement de terre en
fonction de son intensité. Cet indice est noté Rt
et a la formule suivante : 
Avec :
E : est l'énergie dissipée lors du
tremblement de terre.
p(E) : est la probabilité de réalisation
d'un tremblement de terre avec une énergie E.
 , est un facteur d'échelle.
Par analogie, sur les marchés financiers,
l'énergie sera la volatilité représentant le carré
du différentiel de prix (le carré de rendement). Donc
l'échelle de Richter devient : 
Avec  est la
volatilité à l'instant t et p sa probabilité
correspondante.
Pour établir l'indice IMS, il faut se
baser sur la structure de la
volatilité. En effet, il faut fixer un intervalle de temps  sur lequel on va calculer la volatilité de l'indice
concerné. Ce même intervalle doit être
discrétisé en sous intervalles  tel
qu'il est explicité dans la formule suivante :
Avec :
 =
l'horizon de temps adopté pour calculer la volatilité.
I = Nombre d'observation permettant de calculer
la volatilité.
 =  =
l'intervalle d'incrémentation du temps.
 = Ln du
cours de l'action considéré.
ti = t - i = la
date d'observation de .
 =  c'est
un facteur pour annualiser la volatilité.
N = nombre de jours ouvrables par an.
Appliquant l'opérateur Ln à la volatilité
on tire le résultat suivant.
Cette matrice correspond à la matrice de
volatilité suivante : 
Finalement, l'indice IMS à l'instant
t pour un horizon  est
donné par la formule suivante :
Avec : , k =
[1,....K] sont les facteurs agissants sur la variance totale.
 Avec
 est
la volatilité journalière (hebdomadaire), si les données
sont intra journalières (si les données sont journalières)
de composant k.
I = Nombre d'observation, R est le rendement.
 = le
poids de chaque facteur. Avec  =1.
F est la fonction de répartition de la loi
normale.
 est
l'opérateur log base 2 ( (x) = y
  = x).
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