Elaboration d'une stratégie de coordination de mouvements pour un manipulateur mobile redondant

III.2.2.2. Types de liaisons

Une liaison est dite homogène si, au niveau de l'équation (3.1) â =0, par contre, une liaison est scléronome si elle ne dépend pas explicitement du temps ; cela implique que

^?á=0 avec i= 1, ,6xn_c et â=0, L'équation homogène s'écrira alors:

?t

i

6 xnc

? i (p , , p )p &

á =0 (3.2)

1 6 nc i

i 1

=

À l'inverse, une liaison est considérée comme rhéonome si elle dépend explicitement du temps. Les liaisons externes, définies par le mouvement d'un corps externe au système, sont en général considérées comme rhéonomes.

Enfin, une liaison est dite parfaite si elle présente certaines propriétés telles que :

-Les corps mis en jeu sont indéformables ; cette caractéristique considère que pour tout couple de point appartenant à l'objet considéré, la distance entre ces points reste constante.

- La liaison doit être non dissipative. Elle consiste en un roulement sans glissement entre les deux corps formant la liaison.

En général, lors de l'étude des systèmes, les liaisons sont considérées comme parfaites, cette hypothèse est très réaliste du point de vue cinématique, mais si l'on se consacrait à une étude dynamique, les couples résistants induits par les frottements dans les liaisons peuvent prendre des valeurs très importantes, et sont donc parfois modélisées.

III.2.2.3. Holonomie

Comme nous l'avons défini dans le chapitre I (Paragraphe I.3.2), un système holonome présente une absence de restriction sur le déplacement, puisque tous les mouvements lui sont autorisés, contrairement aux systèmes non holonomes qui sont soumis à des contraintes cinématiques, et leurs mouvement est limité.

Dans ce qui suit, nous allons expliquer ces notions relativement à l'aspect liaison.

Lorsque l'équation (3.1) est intégrable, la liaison et l'équation correspondantes sont dites holonomes et elles peuvent alors s'écrire [Pad05] :

f(p₁, ,p6 _xnc ,t)= 0 (3.3)

En d'autres termes, une contrainte ou liaison est dite holonome si elle peut s'écrire sous la forme f (q,t)=0, alors qu'une contrainte ou liaison est dite non-holonome si elle est de la forme non intégrable[Fou98] définie par l'expression f(q, q& )=0 (sachant que q est une coordonnée généralisée et q& est la vitesse généralisée correspondante, elles vont être décrites

dans le paragraphe suivant). Un système contraint par au moins une liaison non holonome est de surcroît non holonome [Pad05].

III.2.2.4. Définition des coordonnées généralisées

On appelle équations primitives de liaison, certaines équations de liaison holonomes prises en compte permettant la réduction du nombre de paramètres nécessaires à la description du système matériel (robot). Ainsi, pour un système à n_c corps, si le nombre d'équations de liaisons primitives choisi vaut h_p, la configuration du système est défini par í=(6xn_c)-h_p paramètres qui forment le vecteur q[Pad05] , dit vecteur des coordonnées généralisées. La configuration du système est alors défini comme :

q	? 1 q 1 ? ? q ? ? ? ? 2 : ? ? ? ] qí

La configuration d'un système dans un repère RA est connue, lorsque la position de tous les points du système est définie de manière unique dans RA.

Les coordonnées généralisées sont l'ensemble des paramètres en nombre minimum, permettant de décrire la configuration du système.

Pour un système holonome tel qu'un bras manipulateur usuel, toute les équations de liaisons sont généralement choisies comme primitives.

Les coordonnées généralisées avec le temps t forment un paramétrage du système. On définit les équations de liaison holonomes complémentaires comme étant les équations n'ayant pas été choisies pour réduire le nombre de paramètres nécessaires à la description du système matériel, elles peuvent être écrites à partir des coordonnées généralisées et nous avons :

f_i (q,t)=0 avec 1 = i = h_c (3.4)

h_c étant le nombre d'équations de liaisons holonomes complémentaires.

Les équations relatives aux liaisons non holonomes, sont celles ne permettant pas la réduction de la taille de l'espace des configurations, nous pouvons donc écrire :

n

? & + = avec 1 = i = h (3.5)

á ( q,t )q â ( q,t ) 0

ij j i

j 1

=

où h est le nombre d'équations non holonomes.

Si h_c+h =0, le paramétrage du système matériel est complet, sinon, il est incomplet. Dans le cas d'un système non holonome, le paramétrage est toujours incomplet.

Notons aussi que h=h_p+h_c est le nombre de liaisons holonomes pour un système donné, et que h+ h est le nombre global de liaisons.