III.6.2. Degrés de Libertés
Pour une configuration du système mécanique
q donnée, sa structure impose à son OT un
certain nombre de contraintes de position et d'orientation, de ce fait, il
apparaîtra ce que nous appellerons le degrés de liberté
local uddl(q) de cet OT ; il est défini
comme le rang de la matrice jacobienne (il dépend donc de la
configuration du système) [Fou98]:
uddl(q)= rang(J)
Lorsque la configuration du système mécanique
évolue de toutes les manières possibles alors [Bay01]:
u=max (uddl)
u est appelé degrés de liberté
(global) de l'OT. Le calcul de ces deux entités (degrés
de libertés global et local) est donc étroitement lié au
rang de la matrice jacobienne.
III.6.3. Configurations Singulière et
régulière
Sachant que le calcul des matrices jacobiennes (qu'elles
soient réduites ou non) fait intervenir les coordonnées
généralisées du système, alors, ces matrices
peuvent être exploitées pour mettre en avant certaines
caractéristiques, qui n'auraient pas pu être perçues lors
du calcul des modèles géométriques ; la singularité
représente une de ces particularités. Avant de définir
cette notion, nous allons émettre les hypothèses suivantes
[Pad05] :
-Le système est tel que le rang
(J)=u.
-Le rang de J et le rang de J sont
identiques. Nous avons fait cette supposition car, il existe en effet des
manipulateurs mobiles à roues pour lesquels le rang de la matrice
jacobienne réduite est inférieur à celui de la matrice
jacobienne, mais ces systèmes peuvent présenter des
imperfections, et ils sont dits « Mal conçus ».
Par définition, nous
avonsuddl(q)=u, si uddl(q)= u
alors, nous considérons cette configuration comme
régulière(CR). La propriété
uddl(q)<u par contre correspond
à une chute du rang (J) ; dans ce cas, la configurations
q correspondante (grâce à laquelle nous avons
calculé la matrice jacobienne) est dite Singulière (CS), La
détermination des configurations singulières nécessite
donc l'étude du rang de J.
Le type de représentation de l'orientation de
l'OT (car il en existe un certain nombre) peut être à
l'origine d'une chute du rang de la jacobienne.
Le calcul de la matrice J . J T
peut nous renseigner sur l'état de la configuration du système
(CS ou CR). Si le déterminant Det( J . J
T) est non nul, alors, la matrice J . J
Test positive et donc inversible, ce qui nous mène
à déduire que J est de rang plein en ligne, et la
configuration correspondante est une configuration régulière
(CR). Si par contre, le déterminant Det( J J
T)=0 , alors J n'est plus de rang plein en lignes et
donc, le système est en configuration singulière (CS). Les
configurations singulières sont donc celles qui annulent le
déterminant, et elles dépendent directement des
différentes grandeurs géométriques qui
caractérisent le système. Quand la matrice jacobienne J
se présente comme carrée, il suffit donc de calculer
directement son déterminant Det( J), pour
détecter si le système est en configuration singulière ou
régulière.
La différence u-uddl entre le
degré de liberté global et le degré de liberté
local de l' OT considéré est appelé ordre de la
configuration singulière.
Remarque
Nous avons évoqué la matrice jacobienne qui peut
être considérée comme la jacobienne réduite ou non,
vu que nous avons émis l'hypothèse qu'elles étaient de
rangs égaux.
| 
