Memoire Online - Elaboration d'une stratégie de coordination de mouvements pour un manipulateur mobile redondant

La configuration d'un manipulateur mobile à roues est connue, dés lors que les configurations de la plateforme et du bras manipulateur qui la composent sont connues.

Elle est définie sur un espace _EGE de dimension í=nb+n_p (nb est la dimension de l'espace des configurations du bras et n_p la dimension de l'espace des configurations de la plateforme) par un vecteur q tel que :

Comme pour les bras manipulateurs, la situation d'un organe terminal pour un manipulateur mobile est égale au minimum à 6, dans un espace tridimensionnel.

Il est plus intéressant de choisir un bras manipulateur tel que la taille de son espace opérationnel u soit égale au nombre de coordonnées opérationnelles du système complet.

Cela revient à considérer que si la plateforme est amenée à ne pas bouger (selon la mission exigée), le système sera tout de même apte à réaliser la tâche désirée [Pad05].

Nous allons dans ce qui suit expliciter les notions fondamentales pour une paramétrisation correcte du manipulateur mobile à étudier. Le bras manipulateur considéré est de type double pendule horizontal (les deux axes de rotations sont verticaux et perpendiculaires au plan d'évolution de la plateforme RP (O_p, x _p , y _p )

r r ) ; la plateforme quand à elle est de type voiture. Chaque partie du robot résultant de la combinaison a été présentée seule auparavant pour une

meilleure compréhension. Le manipulateur mobile auquel nous nous intéressons est présenté dans la figure Fig.III.4 [Pad05]:

Dans le cadre de notre étude, le manipulateur mobile se présente comme plan, et évoluant dans un espace à deux dimensions, nous décrivons la situation de l'OT comme : A =[A1 A2 A3]^T=[XEA YEA Ø]^T, ces coordonnées opérationnelles seront toujours considérées dans

r r , elles spécifient les deux coordonnées cartésiennes ainsi que l'orientation de l'OT avec u=3 représentant la dimension de l'espace opérationnel dim(EOP)=3.

En considérant les coordonnées généralisées qb=[qb1 qb2]^T du bras manipulateur, et si nous ne nous intéressions qu'à la situation q_p=[XP YP á]^T de la plateforme (en omettant d'évoquer les rotations des différentes roues), alors, le degrés de liberté du système considéré estí=2+3=5 ; cette représentation est aussi appelée configuration réduite du système. Par contre, au cas où notre intérêt se portait sur la configuration de la plateforme mobile q_p=[?1 ?2 ?3 XP YP á â3]^T, l'espace des configurations _EGE serait donc de dimension í=2+7=9.

Les différentes configurations envisagées pour le système complet sont les suivantes [Bay01] :

Une ambiguïté peut se présenter dans le fait d'utiliser la configuration ou la situation du système mobile, car, pour considérer la configuration d'un système de manipulation mobile, on peut ne considérer que la situation du système mobile ; elle peut être suffisante pour pouvoir identifier le système, mais elle peut présenter des lacunes lors du passage à l'étude de la commande. D'un point de vue purement géométrique, la situation de la plateforme suffit pour identifier le système de manipulation mobile dans le plan RA=(O_A,xr_A, fI_A), cela

transparaîtra plus clairement lors de la construction des modèles géométriques comme suit.
· Modèles géométriques

Pour notre système qui se présente comme plan, le modèle géométrique direct est le suivant :

A2= YEA= Yp+ aSin(a)-bCos(a)+a1Sin(a+qb1)+a2Sin(a+qb1+qb2) (3.24)

Il n'y a pas de lois particulières pour inverser le modèle géométrique d'un manipulateur mobile.

Nous pouvons déjà certifier que le modèle géométrique inverse comporte une infinité de solutions puisqu'il présente une redondance géométrique ; cela apparaît dans le fait que le nombre de coordonnées généralisées soit supérieur au nombre de coordonnées opérationnelles (v>p). L'ordre de cette redondance géométrique est v--p=5-3=2.

Sachant que les coordonnées du point _Ob0 sont (a, b) dans le repère Rp=(O_p , xp , y_p ) ; en

supposant que a=0 et b=0, et en remplaçant (3.25) dans (3.24) et (3.23), elles se transformeront en :

A1=X_p+a1Cos(a+qb1)+a2Cos(A3) A2= Yp+a1Sin(a+qb1)+a2Sin(A3) On aurait donc :

En faisant l'opération mathématique ((3.29)²+(3.30)²) on aura: (A1-a2Cos(A3)-X_p)²+(A2-a2Sin(A3)-Y_p)²=a1

Cette expression représente une contrainte par rapport à certaines coordonnées généralisées,
puisque le choix des deux coordonnées Xp et Y_p doivent la satisfaire ; ainsi, en fixant X_p, on

peut déduire YP. D'autre part, les coordonnées généralisées á et_qb1 présentent une infinité de solutions, puisque dans les expressions (3.23) et (3.24), nous avons remarqué que l'on ne pouvait pas les dissocier, car on ne les retrouve que sous la forme (á +qb1).

Ceci étant, si le choix du couple (X_p, Y_p) et á a été accompli, alors, nous calculerons _qb1^et qb2 comme suit :

qb1=arctan2(A2-a2 SinA3-Y_p , A1-a2CosA3-X_p)-á qb2=A3-arctan2(A2-a2SinA3-Y_p , A 1-a2CosA3- X_p)

Par conséquent, l'ensemble des configurations [XP YP á]^T (représentants celle de la plateforme) qui sont solutions du MGI, pour une situation imposée A=[A1 A2 A3]^T de l'OT dans RA= (O _A ,x _A , y _A )

que pour chaque point de Sp(A), il existe une paire _(qb1,qb2) pour laquelle la situation de l'OT dans RA est [A1 A2 A3]^T.

Dans ce qui suit, nous allons construire le modèle cinématique, où nous mettrons en évidence l'utilité de la configuration du système mobile.

En considérant que les coordonnées du point _Ob0 (a,b) sont quelconques, le modèle cinématique direct de notre robot manipulateur mobile sera dit réduit, à cause des contraintes non holonomes qui se présentent par rapport à la plateforme mobile.

Nous avons évoqué précédemment le modèle différentiel direct réduit, il est défini comme étant l'application linéaire J telle que :

La mise en oeuvre de ce type de modèle est étroitement liée aux contraintes non holonomes. Pour notre plateforme mobile, les différentielles de la situation de la plateforme [X& _P Y & P á & ]T sont dépendantes, elles sont liées par ç_p. On peut faire intervenir une forme différentielle p&

dont le nombre de composantes qui sont indépendantes correspond au degré de mobilité du
système mécanique. Il suffit de choisir : p& = [p&1 p&2 ... p&Ddm ]T , le choix des composantes du

vecteur p& est lié au type de bras et de plateforme à traiter, donc, pour notre système, nous considérons que le degrés de mobilité du manipulateur mobile étudié est :

Nous allons donc avoir : p& =[ p& ₁ p&₂ p & 3 ]^T=[ q & b1 q & b2 ç p ]T .

Le modèle cinématique en situation de notre manipulateur mobile lie le vecteur des vitesses
opérationnelles A^& , aux vitesses généralisées du bras ( q & b1 , q & b2) ainsi qu'à la commande de

mobilité ç_p de la plateforme. La matrice jacobienne réduite va être représentée en considérant le modèle cinématique en situation de la plateforme selon l'équation (3.2 1)

Le représentation p &nous mène à calculer le modèle différentiel réduit, qui est présenté dans ce qui suit où J(q b1, q _b2 ,á,â3) représente la matrice jacobienne réduite de notre système :

A₁

A₂

? J

a S( q )

á +

1 b1

J a S( q q ) S(

12 2 b 1 b2 3

- á â

)C(á

)

C( )

+ +

3 (aS( )

bC(á

)

Sachant que S représente le sinus et C représente le cosinus, S(áqb1) et C(áqb1) sont les sinus et cosinus de l'angle (á+qb1), ainsi que _S(áqb1qb2)^et_C(áqb1qb2) qui sont les sinus et cosinus de l'angle á+qb1+qb2.

En étudiant la matrice J(q b 1 , q _b2 ,á,â3), nous remarquons que le degré de liberté global de

notre système vaut _uddl=3, il est considéré comme non redondant cinématiquement puisque Ddm-uddl=0. Si le choix des coordonnées opérationnelles se portait uniquement sur les coordonnées en position [XEA YEA]^T, alors, _uddl=2, ce qui impliquera que le degré de redondance cinématique est _Ddm-uddl =1.

Det( J(q _b1 , q b 2 , á , â ₃ ) )= - (-aCos(â3)Sin(qb1)+LSin(â3)Cos(qb1)+bCos(â3)Cos(qb1)).

Le calcul du déterminant nous aide à détecter les singularités du système à étudier, cela se fera en considérant Det( J(q _b1 , qb2 ,á,â3 ) )=0. Nous remarquons pour notre système que la détection des singularité se fera en analysant les valeurs des variables liées au système telles que a, b et L ; plusieurs cas se présentent :

-Si a=0 alors LSin(â3)Cos(qb1)+bCos(â3)Cos(qb1)=0 â3=atan(- ) ou qb1 = ð +kð (k? N).

-Si L=a et b=0, Sin(â3)Cos(qb1)-Cos(â3)Sin(qb1)=0 _â3=qb1+ kð(k? N).

Ces deux cas présentés sont les seuls détectés analytiquement, les autres ne peuvent pas apparaître aussi automatiquement, il faut user de méthodes numériques pour déceler l'existence et les valeurs des configurations singulières, en imposant les valeurs a, b et L.

Pour ce qui est du modèle cinématique en configurations, il sera déduit du modèle cinématique en configurations de la plateforme comme suit :

La paramètrisation des systèmes a son importance, surtout par rapport au choix des coordonnées opérationnelles (de la tâche) ; c'est un point prépondérant car il influe sur la redondance. Cette caractéristique peut aussi se révéler grâce à l'ajout de la plateforme puisque pour le système de manipulation mobile étudié, elle y est apparue (redondance géométrique), alors qu'elle n'y avait pas existé auparavant pour le système articulé seul. Cela implique que l'ajout d'un véhicule mobile influe aussi sur le facteur de redondance géométrique. De ce fait, nous pouvons déduire que l'étude d'un manipulateur mobile diffère totalement de celle du système articulé seul.

La construction de la matrice jacobienne d'un manipulateur mobile est particulière, cela est dû principalement à la cinématique du système à roues ; elle comprend dans sa constitution les contraintes de roulement sans glissement qui changent d'un type de plateforme à l'autre. Elle est également facteur de la matrice partielle incluse par les vitesses articulaires du bras embarqué.

Les calculs des différents modèles de transformations d'espaces présentés dans ce chapitre se font en suivant certaines règles générales pour un système mobile quelconque, portant un type de bras ayant une structure à chaîne cinématique ouverte, sans soucis du type d'articulation qu'il comporte, ces principes de bases seront présentés dans le prochain chapitre.

Elaboration d'une stratégie de coordination de mouvements pour un manipulateur mobile redondant

III.9.3. Etude d'un manipulateur mobile à roues