Annexe B : Modèle Cinématique Direct du
système
articulé
B.1.Présentation de la matrice jacobienne d'un bras
manipulateur
Pour un système articulé, le modèle
cinématique représente la relation entre les vitesses
opérationnelles x& et les vitesses
généralisées q& b.
Considérons le modèle géométrique d'un
robot possédant n degrés de
liberté, évoluant dans un espace à m dimensions
(m et n sont indépendants):
x1=f1(qb1, ... ,qbn)
:
: (B.1)
:
xm=fm(qb1, ..., qbn)
Où x représente le vecteur des
coordonnées opérationnelles, et qbi, le
vecteur des coordonnées généralisées du bras
manipulateur, aussi fi représente la fonction du modèle
géométrique liant les deux parties appartenant respectivement,
à l'espace opérationnel et à l'espace
généralisé. Nous pouvons simplifier l'écriture en
mettant (B. 1) sous forme vectorielle:
x=f(qb) (B.2)
Si nous dérivons l'équation (B.2), nous
obtenons:
=
?
? ? ?? xm
x1
& & : Ò Ò Ò J
1
1 ? ?
? J
1
? f1
? qb1
? fm
? qb1
? f1
? q bn
? fm
...
?qbn
1
? ?
? ?
? ?
? ?
? ? J
...
:
...
:
&
qb
:
&
qb n
(B.3)
1 44 2 44 3
J b
Nous définissons alors matrice jacobienne Jb
[Flü98] telle que :
La matrice jacobienne Jb représente un
opérateur permettant de lier les vitesses des corps d'un robot
exprimées dans différents espaces vectoriels [Flü98]. On
peut donc la voir comme étant l'opérateur reliant les vitesses
opérationnelles x& aux vitesses articulaires
q& bi.
Si les fonctions f1,....,fn sont non
linéaires, alors leurs dérivées partielles sont fonction
des qbi.. La matrice jacobienne est donc un opérateur
linéaire dépendant de la position instantanée du robot.
Le modèle cinématique direct d'un bras
manipulateur évoluant dans un espace à trois dimensions exprime
la relation entre les vitesses opérationnelles, qui sont au nombre de
six, et les vitesses généralisées, ayant un nombre de
variables lié au système articulé.
Pour un bras ayant comme nombre de coordonnées
opérationnelles égales à 6 (ce qui est suffisant pour
définir la position et l'orientation de l'organe terminal), nous avons
la représentation matricielle suivante :
X E
i
& r J J . . . . J
11 12 1ni ? q & b 1 i
? ?
Y E
& Ò
J J . . . . J
21 22 2n q & b 2
? ?
& J J . . . . J
Z E
31 32 3n Ò ? q & b 3
Ò
? ? ? ?
Ø & J J . . . . J
41 42 4n :
? (B.5)
? ?
?
È & Ò ? J J . . . . J
Ò ?
51 52 5n :
? ? ? ? ?
Ö & ] ? ? J J . . . . J
61 62 6n Ò ÿ ? ? q & b n
] 1 444 2 444 3
J b
Nous allons dans ce qui suit formuler une méthode de
calcul de la matrice jacobienne[Dao94] [Flü98].
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