Application de série de fourier à l'intégration de quelques EDP linéaires du second ordre

Proposition 2.1[1] Si les séries numériques convergent absolument, alors la série trigonométrique dont le terme général converge normalement (et par conséquent simplement, absolument et uniformément) sur R.

Démonstration : les fonctions sinus et cosinus étant majorées par 1 et minorées par -1, pour tout on a :

|

On en déduit que

Si les séries numériques convergent absolument alors la série de terme général converge. D'après les critères de convergence pour les séries à termes positifs (soient et deux suites réelles à positifs telles que :

· Si la série converge, alors la série converge.

· Si la série diverge, alors la série diverge), la série de terme général converge. Par définition, cela signifie que la série converge normalement sur R.???

II. 1. 1. PROPRIETE DE LA SOMME D'UNE SERIE TRIGONOMETRIQUE [1]

On dit qu'une fonction définie sur un sous-ensemble ??D de R est

La période d'une telle fonction peut être inférieure à 2 ; c'est le cas par exemple de l'application qui est et qui admet pour période fondamentale

Proposition 2.2La somme d'une série trigonométrique est une fonction -périodique.

Démonstration : soit est un série trigonométrique qui converge en . Pour tout , on a :

Et

Ces relations sont encore valables si . On en déduit que les deux séries

Sont égales. Elles ont donc la même somme. ???

II. 1. 2. FORME COMPLEXE D''NE SERIE TRIGONOMETRIQUE [8]

En appliquant les formules d'Euler, nous obtenons une nouvelle forme, dite complexe. Ecrivons en effet,

Alors,

Ordonnons les termes entre crochets :

Posons

Nous remarquons déjà que ces deux coefficients sont des nombres complexes conjugués :

La série peut donc s'écrire sous la forme complexe :

Ainsi, nous pouvons considérer une série trigonométrique comme une série des fonctions de la forme , où est un nombre complexe, mais où, cette fois, l'ensemble des indices est Z, et non plus N.

II.2 FONCTIONS ORTHOGONALES [8]

Considérons l'espace vectoriel sur R des fonctions continues sur un même intervalle [a, b] de R à valeurs réelles, où

L'application

Est une fonction bilinéaire symétrique satisfaisant aux deux conditions suivantes :

a. Pour tout élément , le nombre réel est positif ;

b. Le nombre réel est nul si et seulement si la fonction est nulle.

Ainsi, on dit que des fonctions sont orthogonales si leur produit scalaire est nul, c'est-à-dire si

Exemple 2. 1 Soient [-1, 1] et les fonctions